Умножение комплексных чисел на число

Умножение комплексных чисел на число

Данный калькулятор пригодится для того, чтобы рассчитать произведение комплексных чисел онлайн.

Комплексными числами называются числа следующего вида: z=a+bi, где a и b являются действительными, или вещественными, числами, а i – мнимая единица.

Для того чтобы определить произведение комплексных чисел, необходимо ввести значения в соответствующие ячейки калькулятора. Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.

Рассмотрим, как следует выполнять умножение комплексных чисел, в теории и на конкретных примерах.

Произведением комплексных чисел

записанными а алгебраической форме, называется комплексное число

На практике умножение комплексных чисел выполняют по правилу умножения двучленов, с последующей заменой i² на -1.

Найти произведение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме:

Перемножаем комплексные числа, как обыкновенные многочлены:

приводим подобные слагаемые и заменяем i² на -1:

Произведение комплексно-сопряженных чисел равно квадрату модуля одного из них.

Что и требовалось доказать.

Соответственно, чтобы умножить комплексно-сопряженные числа, пользуются правилом:

Умножение комплексных чисел подчиняется коммутативному (переместительному):

и дистрибутивному (распределительному относительно сложения)

Умножение комплексных чисел в алгебраической форме

Произведением двух комплексных чисел $z_<1>=a_<1>+b_ <1>i$ и $z_<2>=a_<2>+b_ <2>i$$z_<2>=a_<2>+b_ <2>i$ называется комплексное число $z$, равное

$z=z_ <1>cdot z_<2>=left(a_ <1>a_<2>-b_ <1>b_<2>
ight)+left(a_ <1>b_<2>+b_ <1>a_<2>
ight) i$

На практике чаще всего комплексные числа перемножают как алгебраические двучлены $left(a_<1>+b_ <1>i
ight)left(a_<2>+b_ <2>i
ight)$, просто раскрыв скобки, в полученном результате надо учесть, что $i^<2>=-1$ .

Задание. Найти произведение комплексных чисел $z_<1>=2+3 i$ и $z_<2>=-1+i$ .

Решение. Перемножим заданные комплексные числа как два двучлена, то есть

$z_ <1>cdot z_<2>=(2+3 i)(-1+i)=2 cdot(-1)+2 cdot i+3 i cdot(-1)+3 i cdot i=$

Ответ. $z_ <1>cdot z_<2>=-5-i$

Умножение комплексных чисел в геометрической форме

Если комплексные числа $z_<1>$ и $z_<2>$ заданы в геометрической форме: $z_<1>=left|z_<1>
ight|left(cos phi_<1>+i sin phi_<1>
ight)$, $z_<2>=left|z_<2>
ight|left(cos phi_<2>+i sin phi_<2>
ight)$, то произведением этих чисел есть число

Читайте также:  Оптический выход что это такое

$z_ <1>z_<2>=left|z_<1>
ight| cdotleft|z_<2>
ight|left[cos left(phi_<1>+phi_<2>
ight)+i sin left(phi_<1>+phi_<2>
ight)
ight]$

То есть модуль произведения двух комплексных чисел в тригонометрической форме равен произведению модулей сомножителей, а аргумент равен сумме аргументов сомножителей.

Задание. Найти произведение чисел $z_<1>=3 cdotleft(cos 10^<circ>+i sin 10^<circ>
ight)$, $z_<2>=2 cdotleft(cos 50^<circ>+i sin 50^<circ>
ight)$ .

Решение. Модуль произведения равен $|z|=3 cdot 2=6$, а аргумент $phi=10^<circ>+50^<circ>=60^<circ>$, а тогда искомое число в тригонометрической форме имеет вид:

$z=|z|(cos phi+i sin phi)=6 cdotleft(cos 60^<circ>+i sin 60^<circ>
ight)$

Запишем результат в алгебраической форме, для этого вычислим значения соответствующих тригонометрических функций, будем в результате иметь:

$z=6 cdotleft(frac<1><2>+i cdot frac<sqrt<3>><2>
ight)=3+3 sqrt <3>i$

Ответ. $z=6 cdotleft(cos 60^<circ>+i sin 60^<circ>
ight)=3+3 sqrt <3>i$

Ссылка на основную публикацию
Украли сумку с документами что делать
В связи с угрозой распространения на территории Российской Федерации коронавирусной инфекции приостановлен личный прием граждан в судах. Смотреть как изолируются...
Титан квест охота земля
Продолжаем проходить Нормальный уровень сложности оригинальной игры Titan Quest теперь в кооперативе. Окунаемся в атмосферу древности, эпоху героев и великих...
Титан квест секретная комната
Мой канал на youtube - http://www.youtube.com/user/GGPharmacist Записи предыдущих частей — http://www.youtube.com/playlist?feature=edit_ok&list=PLjjvJi9Qjo0PjJQUgjyL4ewNXV4LB7Q28 Онлайн трансляции вы можете увидеть на канале GG!! -...
Ультра исо вам необходимо иметь права администратора
Очень многие пользователи, когда им нужно сделать загрузочную флешку Windows или с дистрибутивом другой операционной системы, прибегают к использованию программы...
Adblock detector