Укажите точку пересечения прямой kl и плоскости

Укажите точку пересечения прямой kl и плоскости

Условие

На рёбрах AD и BD правильного тетраэдра DABC взяты точки M и K соответственно так, что MD:AM=BK:KD=2.

а) Пусть L — точка пересечения прямой KM с плоскостью ABC . Докажите, что AB:AL=3.

б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABC .

Решение

а) План решения.

1. Выполним схематический чертёж.

2. Сделаем предположение, что MK perp BD, и докажем это утверждение (например, методом «от противного»).

3. Обозначим ребро тетраэдра какой-нибудь буквой (например, a ) и через неё выразим другие величины.

4. Рассмотрим треугольник AML , найдём его углы. Из равенства angle AML=angle ALM сделаем вывод о том, что треугольник равнобедренный: AL=AM.

5. Найдём отношение AB:AL.

1. Так как MK и AB лежат в плоскости ABD , то они пересекутся, L — точка их пересечения.

2. В riangle MDK,, angle MDK=60^<circ>, MD=2DK, значит, MK perp BD. Действительно, допустим, что это не так. Тогда опустим перпендикуляр MK’, MK’ perp BD. В прямоугольном треугольнике MK’D по определению косинуса frac

3. Обозначим AB=AD=a, тогда MD =frac23a, DK =frac13a, AM=frac13a.

4. angle DMK=30^<circ>. Следовательно, angle AML=30^ <circ>(по свойству вертикальных углов). Так как angle MLA= 180^<circ>-angle MAL-angle AML= 180^<circ>-120^<circ>-30^<circ>= 30^<circ>, то riangle AML — равнобедренный и AL=AM=frac13a.

5. Тогда AB:AL=a:frac13a=3.

Замечание. Вместо рассуждений, проведённых в пункте 4 , можно было рассмотреть прямоугольный треугольник LBK и воспользоваться свойством катета, лежащего против угла в 30^<circ>.

б) План решения.

1. Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на плоскость. Построим проекцию отрезка KL на плоскость ABC . Для этого опустим перпендикуляр KH, KH perp ABC, точка H лежит в плоскости ABC . HL — проекция KL .

2. Найдём sin angle KLH (из треугольника KHL ) и по синусу угла определим угол. Для этого выполним следующие действия.

Читайте также:  Как сделать диск неактивным windows 7

2.1. Пусть O — центр основания ABC тетраэдра. Из подобия треугольников KHB и DOB найдём KH (для этого найдём DO ).

2.2. Из треугольника BKL найдём KL .

2.3. Из треугольника KHL найдём sin angle KLH и angle KLH.

1. Искомый угол равен углу KLH .

2. Найдём sin angle KLH =frac

2.1. riangle KHB sim riangle DOB. Следовательно,

2.2. В прямоугольном треугольнике BKL,, BL =frac43a, BK=frac23a найдём KL=sqrt =frac<2sqrt 3>3a.

2.3. sin angle KLH =frac=frac<sqrt 2><3>, angle KLH=arcsin frac<sqrt 2>3.

Решение заданий любой сложности.

Страницы

Nolix

Дан куб ABCDA1B1C1D1 c ребром, равным a

Дан куб ABCDA1B1C1D1 c ребром, равным a. Точка K принадлежит ребру AB, точка L — ребру CD. При этом АК:КВ=1:3, CL:LD=1:4. Проведена прямая KL.

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно. Без шуток. ЗДЕСЬ

A1. Укажите точку пересечения прямой KL и плоскости A1D1D;
A2. Найдите точку пересечения прямых KL и BC;
A3. Укажите линию пересечения плоскостей ABC и B1EF

B1. Найдите длину отрезка B1K
B2. Вычислите длину отрезка KL

C1. Найдите длину отрезка EF

Если продлим плоскость A1D1D то общей точкой пересечения будет точка Е

KL линия пересечения плоскостей ABC и B1EF

B1. Проведем отрезок B1K

Из прямоугольного треугольника KBB1 найдем B1K

Сторона B1B=a
Сторона KB=3a/4 (сторона AB равна 4 частям, а KB составляет 3 части из 4)

B1K^2=KB^2+BB1^2
B1K^2=(0,75a)^2+a^2
B1K^2=0,5625a^2+a^2
B1K^2=1,5625a^2
B1K=1,25a

B2. BCLK-прямоугольная трапеция

Проведем высоту LT=BC=a
BT=x
TK=3x-x=2x=0,5a (сторона AB равна 4 частям, а ТК составляет 2 части из 4)
Из прямоугольного треугольника TLK найдем LK

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая
принадлежит плоскости. Поэтому:
а) РЕ ⊂ пл. ADB;
MK ⊂ пл. BCD, DB = ADB ∩ CBD, DB ∈ ADB, DB ∈ CBD;
АВ = ABC ∩ DAB, AB ∈ ABC и AB ∈ DAB;
EC ⊂ ABC, т.к. С ∈ АВС, и Е ∈ АВС.
б) DK ⊄ ABC, С ∈ DK, C ∈ ABC, значит, DK ∩ ABC = C
(см. рис. 5, б) на стр. 6 учебника);
Е ∈ СЕ, Е ∈ ABD, CE ⊄ ABC, значит, СЕ ∩ ADB = E;
СЕ ∩ ADB = E;
в) A, D, B, P, M, E ∈ пл. ADB; D, B, C, M, K ∈ DBC.
Точки, лежащие в ADB и DBC одновременно: D, B, M.
г) АВС ∩ DCB = BC; ABD ∩ CDA = AD; PDC ∩ ABC – CE.

Читайте также:  Как выбрать программу по умолчанию на mac

✅ Тут можно быстро переключиться на другой номер из этого параграфа.

1. Параллельность прямых, прямой и плоскости

Ссылка на основную публикацию
Титан квест охота земля
Продолжаем проходить Нормальный уровень сложности оригинальной игры Titan Quest теперь в кооперативе. Окунаемся в атмосферу древности, эпоху героев и великих...
Телевизор lg не светится экран звук есть
У телевизора пропало изображение, а вы не знаете что делать? Тогда вы попали по адресу! Современные Smart-TV и обычные ЖК-телевизоры...
Телевизор lg показывает тускло
Если потемнел экран телевизора, пропала яркость, картинка стала тусклой или исчезла совсем, прежде всего, следует изучить инструкцию и проверить настройки...
Титан квест секретная комната
Мой канал на youtube - http://www.youtube.com/user/GGPharmacist Записи предыдущих частей — http://www.youtube.com/playlist?feature=edit_ok&list=PLjjvJi9Qjo0PjJQUgjyL4ewNXV4LB7Q28 Онлайн трансляции вы можете увидеть на канале GG!! -...
Adblock detector