Треугольник симметричный данному относительно точки

Треугольник симметричный данному относительно точки

УРОК № 34

Тема. Симметрия относительно точки

Цель урока: формирование понятия симметрии относительно точки; изучение свойств симметрии относительно точки; формирование умений применять изученные определения и свойства к решению задач.

Тип урока: комбинированный.

Наглядность и оборудование: таблица «Преобразование фигур. Движения» [13].

Требования к уровню подготовки учащихся: описывают симметрию относительно точки; строят фигуры, в которые переходят данные фигуры при симметрии относительно точки; приводят примеры фигур, имеющих центр симметрии; применяют изученные определения и свойства к решению задач.

I. Проверка домашнего задания

Проверить наличие выполненных домашних заданий и ответить на вопросы, которые возникли у учащихся при их выполнении.

  1. 1) Какое преобразование фигуры называется перемещением?
  2. 2) Докажите, что во время движения точки, лежащие на прямой, переходят в точки, также лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.
  3. 3) Во что переходят прямые, півпрямі, отрезки при перемещении?
  4. 4) Докажите, что при перемещении сохраняются углы.
  5. 5) Периметры двух ромбов уровне. Следует ли из этого, что и ромбы уровне?
  6. 6) Периметры двух квадратов уровне. Ровные квадраты?

II . Поэтапное восприятие и осознание нового материала

Понятие симметрии относительно точки

Преобразования фигур с помощью перемещения имеет несколько видов. Сегодня мы ознакомимся с преобразованием фигуры с помощью симметрии относительно точки.

Точки X и X 1 называются симметричными относительно точки О, если точка О является серединой отрезка ХХ1 (рис. 160).

Точка О называется центром симметрии. Преобразование фигуры F в фигуру Ft , при котором каждая точка X фигуры F переходит в точку Х1 фигуры F 1, симметричную точке X относительно данной точки О, называется преобразованием симметрии относительно точки О. Фигуры F и F 1 называются центральносиметричними (симметричными относительно точки О) (рис. 161).

Свойства симметрии относительно точки (центральная симметрия)

  1. 1) Преобразование симметрии относительно точки является перемещением.
  2. 2) Преобразование симметрии относительно точки превращает прямую на параллельную ей прямую или на себя; отрезок — на равный и параллельный ему отрезок; многоугольник — на равный ему многоугольник.
  3. 3) Любая прямая, проходящая через центр симметрии, отображается при этой симметрии на себя. Если преобразование симметрии относительно точки О переводит фигуру F (рис. 162) в себя, то она называется центральносиметричною, а точка О — центром симметрии.

Если точка А(х;у) симметрична точке В(х1; у1) относительно начала координат О, то выполняются условия

  1. 1. Постройте произвольный треугольник ABC . Постройте треугольник, симметричный построенном относительно точки:

в) которая лежит снаружи треугольника;

г) которая лежит внутри треугольника.

  1. 2. Постройте четырехугольник ABCD , у которого А(1; 1), В(-1; 1), С(1; 3) и D (- 1 ; 3). Постройте четырехугольник, симметричный построенном четырехугольнике относительно точки О.
Читайте также:  Широкоугольный зум объектив для canon

III . Закрепление и осмысление учебного материала
Выполнение упражнений

  1. 1. Докажите свойства симметрии относительно точки.
  2. 2. Запишите уравнение окружности, которое симметричное окружности (х — 1)2 + (у + 2)2 = 1 относительно начала координат.
  3. 3. Запишите уравнение прямой, которая симметрична прямой х + у = 1 относительно начала координат.
  4. 4. Даны две прямые, которые пересекаются, и точка О, лежащая между ними. Постройте отрезок с концами на данных прямых и серединой в данной точке.

IV. Домашнее задание

  1. 1. Изучить теоретический материал.
  2. 2. Решить задачи.
  3. 1) Докажите, что у параллелограмма точка пересечения диагоналей является центром симметрии.
  4. 2) Докажите, что четырехугольник, у которого есть центр симметрии, является параллелограммом.

V . Подведение итогов урока

Вопрос к классу

  1. 1. Какие точки называются симметричными относительно данной точки?
  2. 2. Какие преобразования называются симметрией относительно данной точки?
  3. 3. Какая фигура называется центральносиметричною?
  4. 4. Что такое центр симметрии фигуры? Приведите примеры центральносиметричних фигур.

Центральная симметрия — это симметрия относительно точки.

Пусть дана некоторая точка O. Чтобы построить точку, симметричную относительно точки O некоторой точке A, надо:

1) Провести луч AO.

2) С другой стороны от точки O на луче AO отложить отрезок OA1, равный отрезку AO.

Полученная точка A1 симметрична точке A относительно точки O.

Точка O называется центром симметрии.

Таким образом, точки A и A1симметричны относительно точки O, если O — середина отрезка AA1. Точка O считается симметричной самой себе.

Преобразование фигуры F в фигуру F1, при котором каждая точка A фигуры F переходит в точку A1, симметричную относительно данной точки O, называется преобразованием симметрии относительно точки O. Фигуры F и F1 называются фигурами, симметричными относительно точки O.

Чтобы построить треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно точки O, достаточно построить точки A1, B1 и C1, симметричные точкам A, B и C относительно точки O, и соединить их отрезками.

Треугольники ABC и A1B1C1 симметричны относительно точки O.

Если преобразование симметрии относительно точки O переводит фигуру в себя, то такая фигура называется центрально-симметричной, а точка O называется центром симметрии этой фигуры.

Примеры центрально-симметричных фигур:

1) Параллелограмм.

Центр симметрии параллелограмма — точка пересечения его диагоналей.

Центр симметрии окружности — её центр.

3) Прямая.

Центром симметрии прямой является любая точка этой прямой ( то есть прямая имеет бесконечное множество центров симметрии).

Преобразование симметрии относительно точки является движением.

Пусть О — фиксированная точка и А — произвольная точка плоскости. Точка А’ называется симметричной точке А относительно точки О, если точки А, О, А’ лежат на одной прямой и ОА = ОА’ (рис. 18). Точка, симметричная точке О, есть сама эта точка.

П усть Р — данная фигура и О — фиксированная точка плоскости. Преобразование фигуры Р в фигуру Р’, при котором каждая точка А фигуры Р переходит в точку А’ фигуры Р’, симметричную А относительно точки О,называется преобразованием симметрии относительно точки О. На рисунке 19 выполнено преобразование треугольника АВС в симметричный ему относительно точки О треугольник А’В’С’.

Читайте также:  Телефон верту видео обзор

Если преобразование симметрии относительно точки О переводит фигуру в себя, то фигура называется центрально симметричной, а точка О — ее центром симметрии.

Например, центрально симметричными являются параллелограмм (центром симметрии в нем является точка пересечения диагоналей), окружность с центром в точке О.

2. Симметрия относительно прямой (осевая симметрия).

Пусть р — фиксированная прямая. Тогда А’ называется симметричной точке А относительно прямой р, если прямая АА’ перпендикулярна прямой р и ОА’ = ОА, где О — точка пересечения прямых АА’ и р (рис. 20).

Если точка А лежит на прямой р, то симметричная ей точка есть сама точка А. Точка, симметричная точке А’, есть точка А.

Пусть Р — данная фигура и р — фиксированная прямая. Преобразование фигуры Р в фигуру Р’, при котором каждая точка А фигуры Р переходит в точку А’ фигуры Р’, симметрично относительно прямой р, называется преобразованием симметрии относительно прямой?. При этом фигуры Р и Р’ называются симметричными относительно прямой р. На рисунке 20 изображены треугольники АВС и А’В’С’, симметричные относительно прямой р.

Если преобразование симметрии относительно прямой р переводит фигуру Р в себя, то фигура называется симметричной относительно прямой р, прямая р называется осью симметрии фигуры. Например, осями симметрии прямоугольника являются прямые, проходящие через точку пересечения его диагоналей параллельно сторонам.

3. Гомотетия.

ПустьF — данная фигура и О — фиксированная точка (рис. 21). Проведем через произвольную точку X фигуры F луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ’, равный kОХ, где k — положительное число.

Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка X переходит в такую точку X‘, что ОХ’ = kОХ, называется гомотетией относительно центра О. Число k называется коэффициентом гомотетии. Фигуры F и F’ называются гомотетичными.

На рисунке 21 четырехугольник А’В’CD гомотетичен четырехугольнику ABCD. Центр гомотетии — точка О, а ее коэффициент равен 2.

10. Движения и равенство фигур

Из различных преобразований фигур самыми важными являются такие, при которых сохраняются все их свойства; расстояние между точками, углы, параллельность отрезков, площади и т.д. Оказывается, что для этого достаточно потребовать только сохранения расстояния между точками данной фигуры. Тогда у фигуры, которая получается при преобразовании, сохраняются и все остальные геометрические свойства, так как они зависят от расстояний.

Читайте также:  Программа для удаления office 2013

Определение. Преобразование фигуры F в фигуру F‘, которое сохраняет расстояние между точками, называется движением фигуры F.

Движение сопоставляет любым точкам А и В фигуры Этакие точки А’ и В’ фигуры F’, что АВ = А’В’. В геометрии доказано, что преобразования симметрии относительно точки и прямой, являются движениями. Кроме того, движениями являются параллельный перенос фигуры, поворот фигуры вокруг точки на данный угол.

Движения фигур обладают рядом свойств, некоторые из которых мы сформулируем, не доказывая.

1. При движении точки, лежащие на прямой, переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.

2. Отрезок движением переводится в отрезок, луч переходит в луч, прямая — в прямую.

3. Треугольник движением переводится в треугольник.

4. Движение сохраняет величины углов.

5. Преобразование, обратное движению, также является движением. В геометрии движения играют важную роль. Изменяя расположение фигур на плоскости, они не меняют ни их размеры, ни их формы. С точки зрения геометра, фигуры, отличающиеся лишь своим положением на плоскости, совершенно одинаковы, именно поэтому они называются равными (или конгруэнтными). Ни одно свойство геометрической фигуры не отличается от соответствующего свойства равной ей фигуры. Например, равные треугольники имеют не только соответственно равные стороны и углы, но и соответственно равные медианы, высоты, площади и т.д.

Используя понятие взаимно однозначного соответствия, это определение можно сформулировать так: фигуры F и F‘ называются равными, если между их точками существует такое взаимно однозначное соответствие, что отрезки, соединяющие соответственные точки, равны.

Устанавливая равенство отрезков, углов, треугольников и других фигур, нет необходимости преобразовывать одну фигуру в другую. Достаточно сравнить те размеры фигур, которые их однозначно оп­ределяют. Например, у треугольников сравнить расстояния между вершинами, т.е. длины сторон.

Когда же рассматривают произвольные фигуры, необходимо определение их равенства через движение.

Нетрудно убедиться в том, что равенство фигур рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. является отношением эквивалентности. Поэтому это отношение порождает на множестве геометрических фигур классы эквивалентности, содержащие равные между собой фи­гуры. С позиций геометрии такие фигуры неразличимы и их можно принять за одну и ту же фигуру. Именно поэтому можно сказать, что задача построения прямоугольника по двум сторонам а и b имеет только одно решение.

Сказанное позволяет уточнить наше понимание предмета геометрии — она изучает свойства фигур, не зависящие от их расположения. Или, другими словами, геометрия изучает те свойства фигур, которые сохраняются при движениях.

Ссылка на основную публикацию
Титан квест охота земля
Продолжаем проходить Нормальный уровень сложности оригинальной игры Titan Quest теперь в кооперативе. Окунаемся в атмосферу древности, эпоху героев и великих...
Телевизор lg не светится экран звук есть
У телевизора пропало изображение, а вы не знаете что делать? Тогда вы попали по адресу! Современные Smart-TV и обычные ЖК-телевизоры...
Телевизор lg показывает тускло
Если потемнел экран телевизора, пропала яркость, картинка стала тусклой или исчезла совсем, прежде всего, следует изучить инструкцию и проверить настройки...
Титан квест секретная комната
Мой канал на youtube - http://www.youtube.com/user/GGPharmacist Записи предыдущих частей — http://www.youtube.com/playlist?feature=edit_ok&list=PLjjvJi9Qjo0PjJQUgjyL4ewNXV4LB7Q28 Онлайн трансляции вы можете увидеть на канале GG!! -...
Adblock detector