Формула для вычисления периода колебаний

Формула для вычисления периода колебаний

Основные положения:

Колебательное движение – движение, точно или приблизительно повторяющееся через одинаковые промежутки времени.

Колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса, являются гармоническими.

Периодом колебаний Т называется наименьший промежуток времени, по истечение которого повторяются значения всех величин, характеризующих колебательное движение. За этот промежуток времени совершается одно полное колебание.

Частотой периодических колебаний называется число полных колебаний, которые совершаются за единицу времени. .

Циклической (круговой) частотой колебаний называется число полных колебаний, которые совершаются за 2π единиц времени.

, тогда

Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых колеблющаяся величина х изменяется с течением времени по закону:

,

где А, ω, φ – постоянные величины.

А > 0 – величина, равная наибольшему абсолютному значению колеблющейся величины х и называется амплитудой колебаний.

Выражение определяет значение х в данный момент времени и называется фазой колебаний.

В момент начала отсчета времени (t = 0) фаза колебаний равна начальной фазе φ0.

Математический маятник – это идеализированная система, представляющая собой материальную точку, подвешенную на тонкой, невесомой и нерастяжимой нити.

Период свободных колебаний математического маятника: .

Пружинный маятник – материальная точка, закрепленная на пружине и способная совершать колебания под действием силы упругости.

Период свободных колебаний пружинного маятника: .

Физический маятник – это твердое тело, способное вращаться вокруг горизонтальной оси под действием силы тяжести.

Период колебаний физического маятника: .

Теорема Фурье: любой реальный периодический сигнал можно представить в виде суммы гармонических колебаний с различными амплитудами и частотами. Эту сумму называют гармоническим спектром данного сигнала.

Вынужденными называют колебания, которые вызваны действием на систему внешних сил F(t), периодически изменяющихся с течением времени.

Сила F(t) называется возмущающей силой.

Затухающими колебаниями называются колебания, энергия которых уменьшается с течением времени, что связано с убылью механической энергии колеблющейся системы за счет действия сил трения и других сил сопротивления.

Если частота колебаний системы совпадает с частотой возмущающей силы, то резко возрастает амплитуда колебаний системы. Это явление называется резонансом.

Распространение колебаний в среде называется волновым процессом, или волной.

Волна называется поперечной, если частицы среды колеблются в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны.

Волна называетсяпродольной, если колеблющиеся частицы движутся в направлении распространения волны. Продольные волны распространяются в любой среде (твердой, жидкой, газообразной).

Распространение поперечных волн возможно только в твердых телах. В газах и жидкостях, которые не обладают упругостью формы, распространение поперечных волн невозможно.

Читайте также:  Ключи мак для офиса 2010

Длиной волны называется расстояние между ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе, т.е. расстояние, на которое распространяется волна за один период.

,

Скорость волны V – это скорость распространения колебаний в среде.

Период и частота волны – период и частота колебаний частиц среды.

Длина волны λ – расстояние, на которое распространяется волна за один период: .

Звук– упругая продольная волна, распространяющаяся от источника звука в среде.

Восприятие звуковых волн человеком зависит от частоты, слышимые звуки от 16 Гц до 20000Гц.

Звук в воздухе – это продольная волна.

Высота тона определяется частотой звуковых колебаний, громкость звука – его амплитудой.

Контрольные вопросы:

1. Какое движение называется гармоническим колебанием?

2. Дайте определения величин, характеризующих гармонические колебания.

3. Каков физический смысл имеет фаза колебаний?

4. Что называется математическим маятником? Каков его период?

5. Что называется физическим маятником?

6. Что такое резонанс?

7. Что называется волной? Дайте определение поперечной и продольной волны.

8. Что называется длиной волны?

9. Каков диапазон частот звуковых волн? Может ли звук распространяться в вакууме?

Выполните задания:

1. Заполните таблицу:

Величина Обозначение Единица измерения Формула
Амплитуда колебаний
Период колебаний: а) математического маятника б) пружинного маятника в) физического маятника
Циклическая частота колебаний
Фаза колебаний
Координата колеблющейся частицы
Длина волны
Скорость волны

2. Решите задачи

1. Чему равно отношение масс двух пружинных маятников , имеющих пружины одинаковой жесткости, если частота .

2. Два маятника за одинаковое время совершают один 30, а второй 40 колебаний. Какова длина каждого маятника, если разность их длин равна 7см?

3. Найти наибольшую скорость движения маятника длиной 3,6 м, отклоненного от положения равновесия на 60°.

Задания для самостоятельной работы:

1. Тело массой 20 г совершает гармонические колебания, описываемые уравнением: . Чему равны амплитуда, частота, циклическая частота, период колебаний, начальная фаза?

Построить график колебаний. Найти: максимальные значения скорости и ускорения, максимальную силу, действующую на точку, полную механическую энергию точки.

Вариант Уравнение колебаний Вариант Уравнение колебании

2. Вдоль упругого шнура распространяется поперечная волна со скоростью V. Период колебаний Т, амплитуда А. Определить длину волны, фазу и смещение х точки, отстоящей на расстоянии у от источника волн в момент времени t.

Вариант
V, м/c
Т, c 1,1 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,2 2,4
А, см 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5
у, м 1,5 1,6 1,8 2,2 2,5 3,6 2,8 3,9
t, c 1,5 2, 2,5 1,1 0,5 1,2 1,4 1,3
Читайте также:  Можно ли снять деньги через эпл пей

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Сдача сессии и защита диплома — страшная бессонница, которая потом кажется страшным сном. 9188 — | 7394 — или читать все.

При изучении этого раздела следует иметь в виду, что колебания различной физической природы описываются с единых математических позиций. Здесь надо четко уяснить такие понятия, как гармоническое колебание, фаза, разность фаз, амплитуда, частота, период колебани.

Надо иметь в виду, что во всякой реальной колебательной системе есть сопротивления среды, т.е. колебания будут затухающими. Для характеристики затухания колебаний вводится коэффициент затухания и логарифмический декремент затухани.

Если колебания совершаются под действием внешней, периодически изменяющейся силы, то такие колебания называют вынужденными. Они будут незатухающими. Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. При приближении частоты вынужденных колебаний к частоте собственных колебаний амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает. Это явление называется резонансом.

Переходя к изучению электромагнитных волн нужно четко представлять, что электромагнитная волна — это распространяющееся в пространстве электромагнитное поле. Простейшей системой, излучающей электромагнитные волны, является электрический диполь. Если диполь совершает гармонические колебания, то он излучает монохроматическую волну.

Таблица формул: колебания и волны

Физические законы, формулы, переменные

Формулы колебания и волны

Уравнение гармонических колебаний:

где х — смещение (отклонение) колеблющейся величины от положения равновесия;

ω — круговая (циклическая) частота;

α — начальная фаза;

Связь между периодом и круговой частотой:

Частота:

Связь круговой частоты с частотой:

Периоды собственных колебаний

1) пружинного маятника:

где k — жесткость пружины;

2) математического маятника:

где l — длина маятника,

g — ускорение свободного падения;

3) колебательного контура:

где L — индуктивность контура,

С — емкость конденсатора.

Частота собственных колебаний:

Сложение колебаний одинаковой частоты и направления:

1) амплитуда результирующего колебания

где А1 и А2 — амплитуды составляющих колебаний,

α1 и α2 — начальные фазы составляющих колебаний;

2) начальная фаза результирующего колебания

Уравнение затухающих колебаний:

е = 2,71. — основание натуральных логарифмов.

Амплитуда затухающих колебаний:

где А — амплитуда в начальный момент времени;

β — коэффициент затухания;

Коэффициент затухания:

где r — коэффициент сопротивления среды,

где R — активное сопротивление,

L — индуктивность контура.

Частота затухающих колебаний ω:

Период затухающих колебаний Т:

Логарифмический декремент затухания:

Связь логарифмического декремента χ и коэффициента затухания β:

Читайте также:  Супер мтс крым тарифы

Амплитуда вынужденных колебаний

где ω — частота вынужденных колебаний,

fо — приведенная амплитуда вынуждающей силы,

при механических колебаниях:

при электромагнитных колебаниях:

Резонансная частота

Резонансная амплитуда

Полная энергия колебаний:

Уравнение плоской волны:

где ξ — смещение точек среды с координатой х в момент времени t;

k — волновое число:

Длина волны:

где v скорость распространения колебаний в среде,

Т — период колебаний.

Связь разности фаз Δφ колебаний двух точек среды с расстоянием Δх между точками среды:

Период колебаний — минимальное время, за которое циклически движущаяся система возвращается в исходное состояние.

Период колебаний можно найти как

где $t$ — время всех колебаний, $n$ — их количество.

Закономерности, связанные с колебаниями, удобно изучать с помощью модели движущегося в горизонтальной плоскости пружинного маятника, поскольку внутри такой системы действует всего одна сила — сила упругости пружины (ее весом и силами сопротивления среды можно пренебречь). Такое устройство относится к т.н. линейным гармоническим осцилляторам — системам, графиком зависимости скорости тела от времени для которых является синусоида.

Функция силы от времени, действующая в пружинном маятнике, может быть выражена как:

$F(t) = m cdot a (t) = -m cdot omega^2 cdot x$ (t), где:

  • $m$ — масса,
  • $a$ — ускорение,
  • $omega$ — круговая частота гармонических колебаний,
  • $x$ — приращение длины в данный момент времени.

Сила упругости зависит лишь от коэффициента упругости пружины и растяжения пружины:

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Объединив эти две формулы, получим:

$m cdot a = -kx = m cdot omega_0^2 cdot x$,

Величина $omega_0$ называется собственной частотой колебательной пружинного маятника. Ее можно выразить, исходя из вышеизложенного, как

Период колебаний связан с собственной частотой отношением

где $2pi$ — длина одного цикла, выраженная в радианах. Из этого можно выразить период как зависимость от массы и упругости:

$T = 2pi cdot sqrtfrac$.

Для других колебательных систем класса гармонических осцилляторов (математического маятника, крутильного маятника) периоды колебаний находятся аналогично. Различаются лишь системы сил, действующие на тело. Так, период колебаний математического маятника зависит (при небольших углах отклонения от вертикали) от длины подвеса.

Найти жёсткость пружины пружинного маятника с грузом массой 0,1 кг, если период его колебаний составляет 1 с.

Подставляем значения в формулу:

$1 = 2 cdot 3,14 cdot sqrtfrac<0,1>$

$1^2 = 4 cdot 3,14^2 cdot frac<0,01>$

Ответ: $0,628 frac<Н><м>$.

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Ссылка на основную публикацию
Файлы mdi чем открыть
Если вы не смогли открыть файл двойным нажатием на него, то вам следует скачать и установить одну из программ представленных...
Украли сумку с документами что делать
В связи с угрозой распространения на территории Российской Федерации коронавирусной инфекции приостановлен личный прием граждан в судах. Смотреть как изолируются...
Ультра исо вам необходимо иметь права администратора
Очень многие пользователи, когда им нужно сделать загрузочную флешку Windows или с дистрибутивом другой операционной системы, прибегают к использованию программы...
Файлы mdx чем открыть
MDX - это формат образов дисков, который был создан разработчиками программы DAEMON Tools. Это формат был создан в результате усовершенствования...
Adblock detector