Формула для расчета вероятности

Формула для расчета вероятности

Используя формулу Бернулли, вычисляет вероятность возникновения нескольких событий. Таблица и график функции биноминального распределения показывает вероятность всех возможных случаев.

Предположим у нас есть ящик с 5-ю шарами четыре белых и один черный. Каждый раз мы берем один шар из ящика и возвращаем его обратно. Как определить какова вероятность того, что за 10 повторений мы 2 раза достанем черный шар?
Подобные задачи легко решаются, при помощи формулы Бернулли, определяющей вероятность того, что в n независимых испытаниях будет ровно k раз наблюдаться событие, вероятность которого = p.
Формула имеет вид:

где p — вероятность возникновения события, — количество сочетаний n по k.
Подробности — сразу за калькулятором.

1.3.1. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)

Предположим, что некоторый эксперимент можно проводить неоднократно при одних и тех же условиях. Пусть этот опыт производится n раз, т. е. проводится последовательность из n испытаний.

Определение. Последовательность n испытаний называют взаимно независимой, если любое событие, связанное с данным испытанием, не зависит от любых событий, относящихся к остальным испытаниям.

Допустим, что некоторое событие A может произойти с вероятностью p в результате одного испытания или не произойти с вероятностью q=1p.

Определение. Последовательность из n испытаний образует схему Бернулли, если выполняются следующие условия:

последовательность n испытаний взаимно независима,

2) вероятность события A не изменяется от испытания к испытанию и не зависит от результата в других испытаниях.

Событие A называют “ успехом” испытания, а противоположное событие — “неудачей”. Рассмотрим событие

=< в n испытаниях произошло ровно m “успехов”>.

Для вычисления вероятности этого события справедлива формула Бернулли

p() = , m = 1, 2, …, n , (1.6)

где — число сочетаний из n элементов по m :

= =.

Пример 1.16. Три раза подбрасывают кубик. Найти:

а) вероятность того, что 6 очков выпадет два раза;

Читайте также:  Обороты шпинделя жесткого диска

б) вероятность того, что число шестерок не появится более двух раз.

Решение. “Успехом” испытания будем считать выпадение на кубике грани с изображением 6 очков.

а) Общее число испытаний – n =3, число “успехов” – m = 2. Вероятность “успеха” — p=, а вероятность “неудачи” — q= 1 — =. Тогда по формуле Бернулли вероятность того, что результате трехразового бросания кубика два раза выпадет сторона с шестью очками, будет равна

.

б) Обозначим через А событие, которое заключается в том, что грань с числом очков 6 появится не более двух раз. Тогда событие можно представить в виде суммы трех несовместных событий А= ,

где В3 0 – событие, когда интересующая грань ни разу не появится,

В3 1 — событие, когда интересующая грань появится один раз,

В3 2 — событие, когда интересующая грань появится два раза.

По формуле Бернулли (1.6) найдем

p(А) = р () = p()=++=

=.

1.3.2. Условная вероятность события

Условная вероятность отражает влияние одного события на вероятность другого. Изменение условий, в которых проводится эксперимент, также влияет

на вероятность появления интересующего события.

Определение. Пусть A и B – некоторые события, и вероятность p(B)>0.

Условной вероятностью события A при условии, что “событие B уже произошло” называется отношение вероятности произведения данных событий к вероятности события, которое произошло раньше, чем событие, вероятность которого требуется найти. Условная вероятность обозначается как p(AB). Тогда по определению

p (A B) = . (1.7)

Пример 1.17. Подбрасывают два кубика. Пространство элементарных событий состоит из упорядоченных пар чисел

В примере 1.16 было установлено, что событие A = <число очков на первом кубике >4> и событие C = <сумма очков равна 8>зависимы. Составим отношение

.

Это отношение можно интерпретировать следующим образом. Допустим, что о результате первого бросания известно, что число очков на первом кубике > 4. Отсюда следует, что бросание второго кубика может привести к одному из 12 исходов, составляющих событие A:

Читайте также:  Материнская плата msi x99a raider

При этом событию C могут соответствовать только два из них (5,3) (6,2). В этом случае вероятность события C будет равна . Таким образом, информация о наступлении событияA оказала влияние на вероятность события C.

Вероятность произведения событий

Для произведения двух событий отсюда следует, что

Пример 1.18. В партии из 25 изделий 5 изделий бракованных. Последовательно наугад выбирают 3 изделия. Определить вероятность того, что все выбранные изделия бракованные.

Решение. Обозначим события:

Из теоремы умножения (1.6) получим

Классическое определение вероятности позволяет найти p(A1) – это отношение числа бракованных изделий к общему количеству изделий:

p(A1)=;

p(A2) это отношение числа бракованных изделий, оставшихся после изъятия одного, к общему числу оставшихся изделий:

p(A2 A1))=;

p(A3 ) – это отношение числа бракованных изделий, оставшихся после изъятия двух бракованных, к общему числу оставшихся изделий:

p(A3 A1A2)=.

Тогда вероятность события A будет равна

p(A) ==.

В данном разделе вы найдете формулы по теории вероятностей в онлайн-варианте. Версию в pdf можно скачать на странице Таблицы и формулы по теории вероятностей.

Для вашего удобства к формулам по теории вероятностей мы добавили ссылки на примеры, теорию, калькуляторы, видеоуроки и статьи по подходящим разделам. Используйте эти возможности!

Каталог формул по теории вероятности онлайн

Случайные события. Основные формулы онлайн

Основные формулы комбинаторики

$$P_n = n! = 1cdot 2 cdot 3 cdot . cdot (n-1) cdot n$$

$$A_m^n = n cdot (n-1) cdot . cdot (n-m+1)$$

Классическое определение вероятности

$$P(A) = frac,$$ где $m$ — число благоприятствующих событию $A$ исходов, $n$ — число всех элементарных равновозможных исходов в испытании.

Вероятность суммы событий

Теорема сложения вероятностей несовместных событий:

Теорема сложения вероятностей совместных событий:

Вероятность произведения событий

Теорема умножения вероятностей независимых событий:

$$ P(Acdot B) =P(A)cdot P(B) $$

Теорема умножения вероятностей зависимых событий:

Читайте также:  Программа для оплаты картой через телефон андроид

$$ P(Acdot B) =P(A)cdot P(B|A),\ P(Acdot B) =P(B)cdot P(A|B). $$

$P(A|B)$ — условная вероятность события $A$ при условии, что произошло событие $B$,

$P(B|A)$ — условная вероятность события $B$ при условии, что произошло событие $A$.

Формула полной вероятности

где $H_1, H_2, . H_n$ — полная группа гипотез.

Формула Байеса. Вычисление апостериорных вероятностей гипотез

где $H_1, H_2, . H_n$ — полная группа гипотез.

Формула Бернулли

Наивероятнейшее число наступления события

Наивероятнейшее число $k_0$ появления события при $n$ независимых испытаниях (где $p$ — вероятность появления события при одном испытании):

$$ np-(1-p) le k_0 le np+p. $$

Приближенная формула Пуассона

Если число испытаний $n$ велико, и при этом вероятность $p$ наступления события в каждом испытании крайне мала, так что выполняется условие $np lt 10$, можно применять формулу Пуассона:

Здесь $lambda=n cdot p$ обозначает среднее число появлений события.

Локальная формула Лапласа

вероятность появления события ровно $k$ раз при $n$ независимых испытаниях, $p$ — вероятность появления события при одном испытании, $q=1-p$.
Значения функции $varphi(x)$ берутся из таблицы.

Интегральная формула Лапласа

вероятность появления события не менее $m_1$ и не более $m_2$ раз при $n$ независимых испытаниях, $p$ — вероятность появления события при одном испытании, $q=1-p$.
Значения функции $Phi(x)$ берутся из таблицы.

Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности

$varepsilon$ — величина отклонения, $p$ — вероятность появления события.

Решенные задачи по теории вероятностей

Нужна готовая задача по терверу? Найдите на сайте-решебнике:

Ссылка на основную публикацию
Файлы mdi чем открыть
Если вы не смогли открыть файл двойным нажатием на него, то вам следует скачать и установить одну из программ представленных...
Украли сумку с документами что делать
В связи с угрозой распространения на территории Российской Федерации коронавирусной инфекции приостановлен личный прием граждан в судах. Смотреть как изолируются...
Ультра исо вам необходимо иметь права администратора
Очень многие пользователи, когда им нужно сделать загрузочную флешку Windows или с дистрибутивом другой операционной системы, прибегают к использованию программы...
Файлы mdx чем открыть
MDX - это формат образов дисков, который был создан разработчиками программы DAEMON Tools. Это формат был создан в результате усовершенствования...
Adblock detector