Фазовый спектр прямоугольного импульса

Фазовый спектр прямоугольного импульса

Запишем комплексную функцию спектральной плотности F(jiв) в показательной форме:

где | /’//’о))| — модуль комплекса /’(ум), или амплитудный спектр сигнала; его обычно обозначают F(cо); р(со) — аргумент комплекса F(yco), или фазовый спектр сигнала.

Поскольку между функцией времени и ее спектральной плотностью существует однозначная связь, определяемая прямым (10.19) и обратным

(10.20) преобразованиями Фурье, то сигнал может быть задан не только временной зависимостью, но и его амплитудным и фазовым спектрами.

Рассмотрим случай функции времени /(f), равной нулю при f р превращает формулу (10.21) в прямое преобразование Лапласа:

Полученный результат позволяет для функции времени, равной нулю при f

Записываем изображение по Лапласу функции /(?), учитывая се табличный вид:

В этом изображении производим подстановку р —? усо; получаем комплексную функцию спектральной плотности

Полученное комплексное выражение приводим к показательной форме записи, воспользовавшись соотношением

Согласно этому равенству для амплитудного и фазового спектров заданной функции справедливы выражения

Графики зависимостей F(co) и у(со) приведены на рис. 10.10, б и в соответственно.

Рис. 10.10. К примеру 10.7. Спектр экспоненциального импульса:

а — график функции f(t) = Ae

at (t); 6 — амплитудный спектр; в — фазовый спектр

Пример 10.8 (спектр прямоугольного импульса). Определим амплитудный F(со) и фазовый vp(co) спектры прямоугольного импульса (рис. 10.11, а) высотой Л, длительностью Его аналитическое выражение можно записать при помощи функции Хевисайда:

Рис. 10.11. К примеру 10.8. Спектр прямоугольного импульса:

Переходим от заданной функции времени к ее изображению по Лапласу с учетом теоремы запаздывания:

После подстановки р — 3 ?70 приходим к выражению для комплексной функции спектральной плотности

Приводим данный комплекс к показательной форме записи:

Модуль полученного комплекса представляет амплитудный спектр заданного прямоугольного импульса

Читайте также:  Как шарить в моде

Аргумент комплексной функции ТДусо), определяющий искомый фазовый спектр у(со), записываем с учетом периодического (с периодом 2л//н) изменения знака синуса.

Для зависимости р(со) это равносильно скачкообразному приращению величиной 180° на частотах 2//и, 4Д, и т.д., поэтому выполняются следующие равенства:

Как известно, любой сигнал S(t), описываемый периодической функцией времени, удовлетворяющей условиям Дирихле (модели реальных сигналов им удовлетворяют), можно представить в виде суммы гармонических колебаний, называемой рядом Фурье:

где — среднее значение сигнала за период или постоянная составляющая сигнала;

— коэффициенты ряда Фурье;

— основная частота (частота первой гармоники); n=1,2,3,…

Совокупность значений An и n (или при разложении по синусоидальным функциям n) называется спектром периодической функции. Амплитуды гармоник An характеризуют амплитудный спектр, а начальные фазы n (или ‘n) — фазовый спектр.

Таким образом, спектр периодического сигнала представляется в виде постоянной составляющей и бесконечного числа гармонических колебаний (синусоидальных или косинусоидальных) с соответствующими амплитудами и начальными фазами. Частоты всех гармоник кратны основной частоте. Это означает, что если периодический сигнал следует с частотой, например, 1 кГц, то в его спектре могут быть только частоты 0кГц, 1 кГц, 2 кГц и т.д. В спектре такого периодического сигнала не могут присутствовать, например, частоты 1,5 кГц или 1,2 кГц.

На рис. 1. приведены амплитудный и фазовый спектры некоторого периодического сигнала. Каждая гармоническая составляющая изображена вертикальными отрезки, длины которых (в некотором масштабе) равны ее амплитуде и фазе. Как видно, спектр периодического сигнала является дискретным или, как говорят, линейчатым.

С целью упрощения расчетов часто используют вместо тригонометрической формы записи ряда Фурье комплексную форму его записи, коэффициенты которой объединяют коэффициенты An и n:

Совокупность комплексных амплитуд n называют комплексным спектром периодического сигнала.

Читайте также:  Как назывался первый компьютер созданный в ссср

Расчет спектров сигналов в комплексной области значительно проще, поскольку нет необходимости рассматривать отдельно коэффициенты и тригонометрической формы записи ряд Фурье.

Прежде чем рассмотреть спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов, рассмотрим параметры этих импульсов.

Параметрами одиночного импульса являются амплитуда, длительность импульса, длительность фронта, длительность спада, спад (скол) плоской вершины.

Амплитуда импульса Um измеряется в вольтах.

Длительность импульса измеряется по основанию, на уровнях 0,1Um или 0,5Um. В последнем случае длительность импульса называется активной. Измеряется длительность импульса в единицах времени.

Длительность фронта tф и спада tс измеряется либо на уровне 0 — Um, либо на уровне (0,1-0,9)Um. В последнем случае длительность фронта и спада называют активными.

Скол плоской вершины характеризуется коэффициентом скола ? = ?u/Um,

где ?u — значение скола; Um — амплитуда импульса.

Параметрами серии импульсов являются период повторения T, частота следования f, скважность Q, коэффициент заполнения , средние значения напряжения Uср и среднее значение мощности Pср.

Период повторения T = tи +tп, где T — период, tи — длительность импульса, tп — длительность паузы. Измеряются T, tи, и tп в единицах времени.

Частота следования f = 1/T измеряется в герцах и т.д.

Скважность Q = T/tи — величина безразмерная.

Коэффициент заполнения = tи/T — величина безразмерная.

Среднее значение напряжения

Перейдем к рассмотрению амплитудного и фазового спектров сигнала в виде периодической последовательности прямоугольных импульсов длительностью и амплитудой Um, следующих с периодом T (рис. 2).

Рассмотрим случай, когда середина импульса является началом отсчета времени. Тогда на периоде сигнал описывается выражением

Комплексные амплитуды гармонических составляющих.

Функция является знакопеременной и меняет свой знак на обратный при изменении аргумента n1 на величину ?щ = 2р/ф, что соответствует приращению фазы на .

где k — порядковый номер интервала на шкале частот, отсчитываемый с нулевой частоты.

Читайте также:  Как узнать битность компьютера

Таким образом, амплитуды гармоник, включая постоянную составляющую, определяются выражением:

а фазы — выражением =1, 2,3,…

Функция характеризует изменение амплитудного спектра сигнала в зависимости от частоты. Она обращается в нуль, при значениях её аргумента, кратных . Отсюда следует, что гармоники с номером n = , где = 1,2,3,…будут иметь нулевые амплитуды, т.е. отсутствовать в спектре.

Как известно, отношение называется скважностью последовательности импульсов. Таким образом, в спектре рассматриваемой последовательности будут отсутствовать гармоники, номера которой кратны скважности.

Если начало отсчета времени связать с началом импульса, то амплитудный спектр останется без изменений, а фазы гармоник в соответствии со свойством преобразования Фурье получат дополнительный фазовый сдвиг nщ1ф/2. В результате

Выражения для тригонометрической формы записи ряда Фурье при отсчете времени от середины и начала импульса соответственно имеют вид:

На рис. 3. приведены амплитудные и фазовые спектры рассматриваемой последовательности прямоугольных импульсов при скважности, равной двум.

Фазовые спектры показаны соответственно при отсчете времени от середины и начала импульса. Пунктирные линии на амплитудных спектрах характеризуют поведение модуля спектральной плотности одиночного импульса.

Выражение для значений амплитуд и фаз гармоник легко получить в виде, удобном для расчетов. Так при отсчете времени от середины импульса для скважности, равной двум, имеем

Ссылка на основную публикацию
Украли сумку с документами что делать
В связи с угрозой распространения на территории Российской Федерации коронавирусной инфекции приостановлен личный прием граждан в судах. Смотреть как изолируются...
Титан квест охота земля
Продолжаем проходить Нормальный уровень сложности оригинальной игры Titan Quest теперь в кооперативе. Окунаемся в атмосферу древности, эпоху героев и великих...
Титан квест секретная комната
Мой канал на youtube - http://www.youtube.com/user/GGPharmacist Записи предыдущих частей — http://www.youtube.com/playlist?feature=edit_ok&list=PLjjvJi9Qjo0PjJQUgjyL4ewNXV4LB7Q28 Онлайн трансляции вы можете увидеть на канале GG!! -...
Ультра исо вам необходимо иметь права администратора
Очень многие пользователи, когда им нужно сделать загрузочную флешку Windows или с дистрибутивом другой операционной системы, прибегают к использованию программы...
Adblock detector