Что такое уточнение корней

Что такое уточнение корней

Численные методы

На практике в большинстве случаев найти точное решение возникшей математической задачи не удается. Это происходит потому, что искомое решение обычно не выражается в элементарных или других известных функциях. Поэтому большое значение приобрели численные методы.

Под численными методами подразумеваются методы решения задач, сводящиеся к арифметическим и некоторым логическим действиям над числами. В зависимости от сложности задачи, заданной точности, применяемого метода может потребоваться огромное количество действий, и здесь без быстродействующего компьютера не обойтись.

Решение, полученное численным методом, обычно является приближенным, т. е. содержит некоторую погрешность. Источниками погрешности приближенного решения задачи являются:

— погрешность метода решения;

— погрешности округлений в действиях над числами.

Погрешность метода вызвана тем, что численным методом обычно решается другая, более простая задача, аппроксимирующая (приближающая) исходную задачу. В ряде случаев численный метод представляет собой бесконечный процесс, который в пределе приводит к искомому решению. Процесс, прерванный на некотором шаге, дает приближенное решение.

Погрешность округления зависит от количества арифметических действий, выполняемых в процессе решения задачи. Для решения одной и той же задачи могут применяться различные численные методы. Чувствительность к погрешностям округления существенно зависит от выбранного метода.

Решение нелинейных уравнений

Постановка задачи

Решение нелинейных уравнений с одним неизвестным является одной из важных математических задач, возникающих в различных разделах физики, химии, биологии и других областях науки и техники.

В общем случае нелинейное уравнение с одним неизвестным можно записать:

где f ( x) – некоторая непрерывная функция аргумента x.

Всякое число x , при котором f (x) ≡ 0, называется корнем уравнения f ( x) = 0.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые (аналитические, точные) и итерационные. Прямые методы позволяют записать решение в виде некоторого соотношения (формулы). При этом значения корней могут быть вычислены по этой формуле за конечное число арифметических операций. Подобные методы развиты для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.

Однако подавляющее большинство нелинейных уравнений, встречающихся на практике, не удается решить прямыми методами. Даже для алгебраического уравнения выше четвертой степени не удается получить аналитического решения в виде формулы с конечным числом арифметических действий. Во всех таких случаях приходится обращаться к численным методам, позволяющим получить приближенные значения корней с любой заданной точностью.

При численном подходе задача о решении нелинейных уравнений разбивается на два этапа: локализация (отделение) корней, т.е. нахождение таких отрезков на оси x, в пределах которых содержится один единственный корень, и уточнение корней, т.е. вычисление приближенных значений корней с заданной точностью.

Локализация корней

Для отделения корней уравнения f ( x) = 0 необходимо иметь критерий, позволяющий убедится, что, во-первых, на рассматриваемом отрезке [ a, b] имеется корень, а, во-вторых, что этот корень единственный на указанном отрезке.

Если функция f ( x) непрерывна на отрезке [ a, b], а на концах отрезка её значения имеют разные знаки, т. е.

Читайте также:  Как добавить историю в фейсбук

Уточнение корней

На данном этапе задача состоит в получении приближенного значения корня, принадлежащего отрезку [ a, b], с заданной точностью (погрешностью) ε. Это означает, что вычисленное значение корня x

должно отличаться от точного x не более чем на величину ε:

Процедура численного определения приближенных значений корней нелинейных уравнений, как правило, состоит в выборе начального приближения к корню x Î[ a, b] и вычислении по некоторой формуле последующих приближений , x1 x2 и т.д. Каждый такой шаг называется итерацией, а сами методы уточнения – итерационными методами. В результате итераций получается последовательность приближенных значений корня
x , x1 , . . . , xk, . . . , которая называется итерационной последовательностью. Если эти значения с ростом k стремятся к точному значению корня x, то говорят, что итерационный процесс сходится :

Методы уточнения корней

| следующая лекция ==>
Внутренние процедуры | Метод половинного деления

Дата добавления: 2017-09-19 ; просмотров: 1853 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Численные методы

На практике в большинстве случаев найти точное решение возникшей математической задачи не удается. Это происходит потому, что искомое решение обычно не выражается в элементарных или других известных функциях. Поэтому большое значение приобрели численные методы.

Под численными методами подразумеваются методы решения задач, сводящиеся к арифметическим и некоторым логическим действиям над числами. В зависимости от сложности задачи, заданной точности, применяемого метода может потребоваться огромное количество действий, и здесь без быстродействующего компьютера не обойтись.

Решение, полученное численным методом, обычно является приближенным, т. е. содержит некоторую погрешность. Источниками погрешности приближенного решения задачи являются:

— погрешность метода решения;

— погрешности округлений в действиях над числами.

Погрешность метода вызвана тем, что численным методом обычно решается другая, более простая задача, аппроксимирующая (приближающая) исходную задачу. В ряде случаев численный метод представляет собой бесконечный процесс, который в пределе приводит к искомому решению. Процесс, прерванный на некотором шаге, дает приближенное решение.

Погрешность округления зависит от количества арифметических действий, выполняемых в процессе решения задачи. Для решения одной и той же задачи могут применяться различные численные методы. Чувствительность к погрешностям округления существенно зависит от выбранного метода.

Решение нелинейных уравнений

Постановка задачи

Решение нелинейных уравнений с одним неизвестным является одной из важных математических задач, возникающих в различных разделах физики, химии, биологии и других областях науки и техники.

В общем случае нелинейное уравнение с одним неизвестным можно записать:

где f ( x) – некоторая непрерывная функция аргумента x.

Всякое число x , при котором f (x) ≡ 0, называется корнем уравнения f ( x) = 0.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые (аналитические, точные) и итерационные. Прямые методы позволяют записать решение в виде некоторого соотношения (формулы). При этом значения корней могут быть вычислены по этой формуле за конечное число арифметических операций. Подобные методы развиты для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.

Однако подавляющее большинство нелинейных уравнений, встречающихся на практике, не удается решить прямыми методами. Даже для алгебраического уравнения выше четвертой степени не удается получить аналитического решения в виде формулы с конечным числом арифметических действий. Во всех таких случаях приходится обращаться к численным методам, позволяющим получить приближенные значения корней с любой заданной точностью.

Читайте также:  Какой формат поддерживает двд проигрыватель с флешки

При численном подходе задача о решении нелинейных уравнений разбивается на два этапа: локализация (отделение) корней, т.е. нахождение таких отрезков на оси x, в пределах которых содержится один единственный корень, и уточнение корней, т.е. вычисление приближенных значений корней с заданной точностью.

Локализация корней

Для отделения корней уравнения f ( x) = 0 необходимо иметь критерий, позволяющий убедится, что, во-первых, на рассматриваемом отрезке [ a, b] имеется корень, а, во-вторых, что этот корень единственный на указанном отрезке.

Если функция f ( x) непрерывна на отрезке [ a, b], а на концах отрезка её значения имеют разные знаки, т. е.

Уточнение корней

На данном этапе задача состоит в получении приближенного значения корня, принадлежащего отрезку [ a, b], с заданной точностью (погрешностью) ε. Это означает, что вычисленное значение корня x

должно отличаться от точного x не более чем на величину ε:

Процедура численного определения приближенных значений корней нелинейных уравнений, как правило, состоит в выборе начального приближения к корню x Î[ a, b] и вычислении по некоторой формуле последующих приближений , x1 x2 и т.д. Каждый такой шаг называется итерацией, а сами методы уточнения – итерационными методами. В результате итераций получается последовательность приближенных значений корня
x , x1 , . . . , xk, . . . , которая называется итерационной последовательностью. Если эти значения с ростом k стремятся к точному значению корня x, то говорят, что итерационный процесс сходится :

Методы уточнения корней

| следующая лекция ==>
Внутренние процедуры | Метод половинного деления

Дата добавления: 2017-09-19 ; просмотров: 1854 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Метод простой итерации

Применим принцип сжимающих отображений для уточнения значения корня уравнения. Для этого заменим уравнение (1) равносильным уравнением

Сделать это можно множеством способов. Простейший и очевидный — добавить х к левой и правой частям уравнения (4).

Пусть — корень уравнения (4), а — полученное каким — лио способом на этапе отделения корней грубое приближение к корню . Подставляя в правую часть уравнения (4), получим некоторое число . Проделаем то же самое с , получим и т.д. последовательно применяя рекуррентное соотношение образуем итерационную последовательность:

Процесс построения итерационной последовательности имеет простую геометрическую интерпретацию. На рис. 6. изображены два случая, показывающие, что последовательность приближений может быть как сходящейся, так и расходящейся. Как следует из принципа сжимающих отображений, условием сходимости итерационной последовательности является то, что функция осуществляет сжимающее отображение в окрестности корня.

Предположим, что существует отрезок , содержащий все члены последовательности (5). Если на отрезке функция возрастает, то итерационная последовательность является монотонной. Если убывает, то она является колеблющейся.

Условие того, что функция является сжимающей функцией на отрезке , приобретает в данном случае следующий вид: для всех , а также существует такое число ,, что для любых х, выполняется соотношение

Читайте также:  Готовимся к новому году гирлянды

Условие (6) имеет в математической литературе собственное название: условие Липщица.

Рис. 6.а — сходящаяся последовательность, б — расходящаяся

Однако практически проверить выполнимость условия Липщица весьма затруднительно. Для этого следовало бы перебрать все возможные пары значений (x,y) из отрезка , что практически невозможно. Применим теорему Лагранжа для (6), которая гласит, что если функция дифференцируема на отрезке , то на нем найдется такая точка с, что будем иметь формулу:

Называемая формулой Лагранжа (или формулой конечных приращений)

Сравнивая (6) и (7) приходим к выводу: если существует такое число , что для любых

то функция является сжимающей на отрезке . При этом роль константы Липщица играет .

Итак, общая схема решения уравнения (1) методом итерации такова:

  • 1. Выполнить, полностью или частично, отделение корней. Выбрать тот корень, который принадлежит уточнению, и соответствующий ему отрезок , содержащий этот корень и не содержащий иных корней данного уравнения.
  • 2. Преобразовать уравнение (1) к равносильному уравнению вида (4).

  • 3. Найти и проверить, является ли функция сжимающей на отрезке .
  • 4. Если сжимаемость имеет место:

a) Задаться точностью е нахождения приближенного значения корня;

b) Задаться первым членом итерационной последовательности — начальным приближением к корню;

c) Построить следующий член итерационной последовательности (6);

d) Всякий раз, получив очередной член итерационной последовательности, проверять, выполняется ли условие: или

e) Если условие (9) выполняется, то принять за результат, иначе вновь выполнить пунк с).

Принятие в качестве результата, полученного с точностью е, означает, что вместо полной погрешности решения использована погрешность метода.

Если подбирать вслепую, можно пустую потратить массу времени. Есть общие приемы, которые позволяют избежать этой ситуации.

Рассмотрим простейший из них. Преобразуем уравнение (1) к равносильному уравнению

где — константа, отличная от нуля.

Таким образом, . Условие (8) приобретает вид , или, иначе

Если удастся подобрать значение так, чтобы условие (11) выполнялось, то метод итераций применим.

Рассмотрим в начале случай, когда . Второе из неравенств (11) сводится к условию > 0, а первое — к условию . Полагая

Получим из (10) итерационную формулу

Критерий выхода из итерационного процесса:

Поскольку считается, что , то , где .

Если , то, рассуждая аналогично, получим и итерационную формулу

Уточнить корень уравнения методом простой итерации на отрезке [0,4;0,5] с заданной точностью.

Исходное уравнение можно привести к виду , в этом случае . Подберем константу из условия (12). Поскольку производная на отрезке положительна и монотонно возрастает, то достигает максимума в точке 0,5. . Следовательно, положим . Таким образом, имеем рекуррентное соотношение

Найдем критерий выхода из итерационного процесса:

Малое значение q обеспечивает быструю сходимость итерационного процесса.

Программа на языке Turbo Pascal имеет следующий вид, также сразу покажем результат работы программы:

Ссылка на основную публикацию
Что мне задали завтра на русский
Проверка орфографии на 5-ege.ru (введите текст в форму ниже): Если нужно проверить пунктуацию, воспользуйтесь сервисом Проверка пунктуации онлайн. Наш сервис...
Чистка матрицы зеркального фотоаппарата
Нам доверяют сотрудники: Вопросы и предложения: info@fixit24.ru Адрес: г. Москва, м. Тверская, ул. Тверская, д. 20, 2 этаж, офис 204....
Чистка кэша на ноутбуке
Все, что находит отображение в браузере (музыка, картинки, видео) перед воспроизведением сохраняются на ваш ПК как временные файлы.Если их количество...
Что лучше газель некст или фиат дукато
На прошлой неделе Газель-Некст была признана лучшим автомобилем года в России. Эксперты коммерческого транспорта оценили ее в 2–3 раза выше,...
Adblock detector