Что такое лим в математике

Что такое лим в математике

Мы уже знаем, что арифметическая и геометрическая прогрессии — это последовательность чисел. Давайте возьмем последовательность an = 1/n , если k и m натуральные числа, тогда для каждого k верно ak > am , поэтому, чем больше становится n тем меньше становится an и это число всегда позитивно, но никогда не становится равным нулю. В этом случае, мы говорим, что 0 есть
пределом lim an->∞ если n->∞ , или, если записать по-другому: limn->∞ an = 0 .

Определение предела

Число a называется пределом последовательности, если для каждого ε > 0 может быть найдено число nε , то для всех членов последовательности an with index n > nε верно, что a — ε .

Основное правило

Последовательность не всегда имеет предел, а иногда имеет предел бесконечности ( -∞ or +∞ ). Пределы +∞ and -∞ называются соответсвенно пределом плюс бесконечности и минус бесконечности.

Если обе последовательности an and bn имеют действительные пределы, тогда последовательности
an + bn , an — bn , an.bn и an / bn также имеют действительный предел и:

Если an для каждого натурального n и limn->∞an = a ,
limn->∞bn = b тогда a ≤ b

Если an ≥ 0 и limn->∞an = a, тогда последовательность bn = √ a n также имеет предел и limn->∞√ a n = √ a n.

e is the number of Neper.

Если последовательность an имеет предел бесконечность ( -∞ или +∞ ) тогда последовательность 1/an имеет предел и limn->∞ 1 /an = 0

Если последовательности an и bn имеют бесконечные пределы и limn->∞an=+∞ , limn->∞bn=+∞ тогда:

Упражнения с пределами

Упражнение 1:
Если a n = 5.4 n , limn->0an = ?

Ответ:
limn->0an = limn->05 . limn->04 n = 5 . 4 0 = 5.1 = 5

Предел функции – число a будет пределом некоторой изменяемой величины, если в процессе своего изменения эта переменная величина неограниченно приближается к a.

Или другими словами, число A является пределом функции y = f (x) в точке x, если для всякой последовательности точек из области определения функции, не равных x, и которая сходится к точке x (lim xn = x0), последовательность соответствующих значений функции сходится к числу A.

График функции, предел которой при аргументе, который стремится к бесконечности, равен L:

Предел функции по Гейне.

Значение А является пределом (предельным значением) функции f (x) в точке x в случае, если для всякой последовательности точек , которая сходится к x, но которая не содержит x как один из своих элементов (т.е. в проколотой окрестности x), последовательность значений функции сходится к A.

Предел функции по Коши.

Значение A будет являться пределом функции f (x) в точке x в случае, если для всякого вперёд взятого неотрицательного числа ε будет найдено соответствующее ему неотрицательно число δ = δ(ε) такое, что для каждого аргумента x, удовлетворяющего условию 0 3 , выносим в числителе и знаменателе его за скобки и далее сокращаем на него:

Читайте также:  Как возвести число в отрицательную дробную степень

Ответ

Необходимо рассчитать предел

Первым шагом в нахождении этого предела, подставим значение 1 вместо x, в результате чего имеем неопределенность . Для её решения разложим числитель на множители, сделаем это методом нахождения корней квадратного уравнения x 2 + 2x — 3:

Таким образом, числитель будет таким:

Далее сокращаем числитель и знаменатель на (x – 1):

Ответ

Решение пределов функции.

Решение пределов функции — это определение его конкретного значения или определенной области, куда попадает функция, которая ограничена пределом.

Чтобы решить пределы, следуйте правилам:

  1. Пробуем подставить в функцию число, результат решения и будет ответом.
  2. Если х стремится не к числу, например в пределах вида или , то такие пределы решаются сразу, так как число, деленное на бесконечность, всегда дает 0, а деленное на нуль это и есть . Если вам сложно понять саму суть бесконечности и нуля в пределах, то подставляйте вместо — бесконечно большое число – к примеру 1000 000, либо вместо нуля — бесконечно малое — например 0,000001 и после этого можете предположить к чему стремится ответ.
  3. Существует группа пределов, в которых и в числитель, и в знаменатель при подстановке получаем либо нуль либо . Это т.н. пределы с неопределенностью, часть из которых замечательные.

Разобравшись в сути и основных правилах решения предела, вы получите базовое понятие о том, как их решать.

Предел числовой последовательности
Свойства пределов числовых последовательностей
Вывод формулы для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Примеры вычисления пределов последовательностей. Раскрытие неопределенностей
Число e. Второй замечательный предел

Предел числовой последовательности

Определение 1 . Число a называют пределом числовой последовательности

если для любого положительного числа ε найдется такое натуральное число N , что при всех n > N выполняется неравенство

записывают с помощью обозначения

и произносят так: «Предел an при n , стремящемся к бесконечности, равен a ».

То же самое соотношение можно записать следующим образом:

ana при .

Словами это произносится так: « an стремится к a при n , стремящемся к бесконечности».

Замечание . Если для последовательности

найдется такое число a , что ana при , то эта последовательность ограничена.

Определение 2 . Говорят, что последовательность

стремится к бесконечности, если для любого положительного числа C найдется такое натуральное число N , что при всех n > N выполняется неравенство

Читайте также:  Ключ от домофона cyfral ccd 2094

Условие того, что числовая последовательность

стремится к бесконечности, записывают с помощью обозначения

или с помощью обозначения

при .

Пример 1 . Для любого числа k > 0 справедливо равенство

Пример 2 . Для любого числа k > 0 справедливо равенство

Пример 3 . Для любого числа a такого, что | a | справедливо равенство

Пример 4 . Для любого числа a такого, что | a | > 1, справедливо равенство

Пример 5 . Последовательность

предела не имеет.

Свойства пределов числовых последовательностей

Рассмотрим две последовательности

Если при существуют такие числа a и b , что

и ,

то при существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих последовательностей, причем

Если, кроме того, выполнено условие

то при существует предел дроби

Для любой непрерывной функции f (x) справедливо равенство

Вывод формулы для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

знаменатель которой равен q .

Для суммы первых n членов геометрической прогрессии

Если для суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ввести обозначение

то будет справедлива формула

В случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменатель q удовлетворяет неравенству

| q | Определение 3 . Если при нахождении предела дроби выясняется, что и числитель дроби, и знаменатель дроби стремятся к, то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности типа .

Часто неопределенность типа удается раскрыть, если и в числителе дроби, и в знаменателе дроби вынести за скобки «самое большое» слагаемое. Например, в случае, когда в числителе и в знаменале дроби стоят многочлены, «самым большим» слагаемым будет член с наивысшей степенью.

Пример 6 . Найти предел последовательности

Решение . Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, воспользовавшись свойствами степеней:

Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби, а также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 3, получаем

Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби и сокращая дробь, получаем

Ответ .

Пример 7 . Найти предел последовательности

Решение . Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби, а также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем

Решение . Преобразуем дробь, вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби:

Ответ .

В следующих двух примерах показано, как можно раскрыть неопределенности типа .

Пример 8 . Найти предел последовательности

Решение . Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, приводя дроби к общему знаменателю:

Читайте также:  Пойдет ли игра на моем ноутбуке

Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в каждой из скобок знаменателя дроби, а также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем

Преобразуем дробь, вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в каждой из скобок знаменателя дроби:

Ответ .

Пример 9 . Найти предел последовательности

Решение . В рассматриваемом примере неопределенность типа возникает за счет разности двух корней, каждый из которых стремится к. Для того, чтобы раскрыть неопределенность, домножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сумму этих корней и воспользуемся формулой сокращенного умножения «разность квадратов».

Из-за большого размера формул подробные вычисления видны только на устройствах с разрешением экрана по ширине не менее 768 пикселей (например, на стационарных компьютерах, ноутбуках и некоторых планшетах). На Вашем мобильном устройстве отображается только результат описанных операций.

Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое из-под каждого корня в знаменателе дроби, а также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем

Преобразуем дробь, вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое из-под каждого корня в знаменателе дроби,а затем сокращая дробь на n 2 :

Ответ .

Пример 10 . Найти предел последовательности

Решение . Замечая, что для всех k = 2, 3, 4, … выполнено равенство

,

Число e. Второй замечательный предел

(1)

В дисциплине «Математический анализ», которую студенты естественнонаучных и технических направлений высших учебных заведений изучают на 1 курсе, доказывают, что последовательность (1) монотонно возрастает и ограничена сверху. Из теоремы Вейерштрасса о монотонных и ограниченных последовательностях, доказательство которой выходит за рамки школьного курса математики, вытекает, что последовательность (1) имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой e .

Таким образом, справедливо равенство

(2)

причем расчеты показывают, что число

Число e играет исключительно важную роль в естествознании и, в частности, служит основанием натуральных логарифмов и основанием показательной функции

которую называют «экспонента» .

что позволяет вычислять число e с любой точностью. Конечно же, доказательство формулы (3) выходит за рамки школьного курса математики.

Замечание . Предел (2), в котором для последовательностей раскрывается неопределенность типа , называют вторым замечательным пределом . В разделе нашего справочника «Пределы функций» можно ознакомиться со вторым замечательным пределом для функций.

Ссылка на основную публикацию
Что мне задали завтра на русский
Проверка орфографии на 5-ege.ru (введите текст в форму ниже): Если нужно проверить пунктуацию, воспользуйтесь сервисом Проверка пунктуации онлайн. Наш сервис...
Чистка матрицы зеркального фотоаппарата
Нам доверяют сотрудники: Вопросы и предложения: info@fixit24.ru Адрес: г. Москва, м. Тверская, ул. Тверская, д. 20, 2 этаж, офис 204....
Чистка кэша на ноутбуке
Все, что находит отображение в браузере (музыка, картинки, видео) перед воспроизведением сохраняются на ваш ПК как временные файлы.Если их количество...
Что лучше газель некст или фиат дукато
На прошлой неделе Газель-Некст была признана лучшим автомобилем года в России. Эксперты коммерческого транспорта оценили ее в 2–3 раза выше,...
Adblock detector