Что такое бинарное отношение

Что такое бинарное отношение

На этой странице вы найдете готовые примеры по бинарным отношениям. Типовые задачи снабжены подробным решением, формулами, пояснениями. Используйте их, чтобы научиться решать подобные задачи или закажите решение своей работы нам.

Основные темы заданий : способы задания отношения (аналитический, прямой, графический), граф и матрица отношения, свойства бинарного отношения (рефлексивность, симметричность, транзитивность, эквивалентность) и проверка их с помощью матрицы отношения и напрямую; разбиения и фактор-множества, отношения порядка и диграмма Хассе, функциональные отношения и их свойства.

Задачи с решениями о бинарных отношения онлайн

Задача 1. Определите свойства следующих отношений:
1. «прямая x пересекает прямую y» (на множестве прямых)
2. «число x больше числа y на 2» (на множестве натуральных чисел)
3. «число x делится на число y без остатка» (на множестве натуральных чисел)
4. «x — сестра y» (на множестве людей).

Задача 3. Найти область определения, область значений отношения Р. Является ли отношение Р рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным.

Задача 4. Дано множество $А = < gt, lt, ge, le>$. Записать декартовое произведение $А imes А$. Задать 2 бинарных отношения $R_1$ и $R_2$, мощность которых равна 3 и 4 соответственно. Найдите соответствующие замыкания обоих отношений. Изобразите ориентированные графы и запишите матрицы для отношений $R_1$ и $R_2$ и соответствующих замыканий. Вычислите $R_1^<-1>$, $R_2^<-1>$, $R_2 cdot R_1$. Изобразите соответствующие ориентированные графы и запишите соответствующие матрицы.

Задача 5. Отношение $R$ на множестве $Х =$ задано матрицей.
Каковы свойства отношения $R$? Как выглядят матрицы отношений $R^<-1>$, $R cdot R$?

Задача 6. Дано множество $A = <1,2,3,4,5>$ и бинарное отношение $R subset A imes A$:
Проверить, является ли $R$ отношением эквивалентности. Добавить минимальное возможное число пар, чтобы $R$ стало отношением эквивалентности. Найти разбиение $P$.

Задача 7. Доказать, что для любых бинарных отношений

Задача 8. Доказать истинность следующего утверждения: если $Р$ и $S$ – антисимметричны, то $P cap S$ – антисимметрично.

Задача 9. Для заданных на множестве $А=<1,2,3,4,5>$ бинарных отношений $
ho$ и $ au$:
а) записать матрицы и построить графики;
б) найти композицию $
ho circ au$;
в) исследовать свойства отношений $
ho$, $ au$ и $
ho circ au$ (рефлексивность, иррефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность).

Задача 10. На множестве вещественных чисел $R$ задано бинарное отношение $a
ho b$ $ Leftrightarrow a^2 + a = b^2 + b$. Докажите, что $
ho$ – отношение эквивалентности. Сколько элементов в классе эквивалентности?

Задача 11. Для бинарного отношения $
ho$ между элементами множеств $A = <1,2,3,4,5>$, $B = <<1>, <1,2>, <2,5>, <3>>$, $a
ho X Leftrightarrow a
otin X$ найдите область определения $D_
ho$ и область значений $R_
ho$?

Задача 12. Дано множество $X=<1,2,3,6>$ и отношение $R=<(x,y) | x,y in X, x — $ делитель $y>$. Показать, что отношение $R$ является отношением порядка. Построить диаграмму Хассе частично упорядоченного множества $(X, R)$. Существует ли в множестве $X$ наибольший и наименьший элементы? Существуют ли несравнимые элементы?

Решение задач об отношениях на заказ

Выполняем для студентов очников и заочников решение заданий, контрольных и практических работ по любым разделам теории бинарных отношений на заказ. Также оказываем помощь в сдаче тестов. Подробное оформление, таблицы, графики, пояснение, использование специальных программ при необходимости. Стоимость примера от 100 рублей , оформление производится в Word, срок от 2 дней.

Бинарные отношения: основные сведения

Бинарным отношением $R$ называется подмножество пар $(a,b)in R$ декартова произведения $A imes B$, т. е. $R subseteq A imes B$. При этом множество $A$ называют областью определения отношения $R$, множество $B$ – областью значений.

Записывается это так: $aRb$ (т. е. $a$ и $b$ находятся в отношении $R$, пара $(a,b)$ принадлежит отношению $R$).

Отношение может задаваться: словесно, в виде формулы или функции, списком своих пар, матрицей отношения, графом отношения, или точечным графиком.

Отношения могут обладать (или не обладать, что требуется проверять в учебных задачах) следующими свойствами: рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность.

Если для бинарного отношения выполняются свойства рефлексивности, антисимметричности и транзитивности, оно называется отношением порядка.

Если для бинарного отношения выполняются свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности, оно называется отношением эквивалентности. Оно разбивает все пары на классы эквивалентности.

Для бинарных отношений (также как и для множеств) задаются операции объединения, пересечения, разности, дополнения, а также обратное отношение и композиция отношений.

п.3. Отношения на множествах. Свойства бинарных отношений.

Когда говорят о родстве двух людей, например, Сергей и Анна, то подразумевают, что есть некая семья, к членам которой они относятся. Упорядоченная пара (Сергей, Анна) отличается от других упорядоченных пар людей тем, что между Сергеем и Анной есть некое родство (кузина, отец и т. д.).

В математике среди всех упорядоченных пар прямого произведения двух множеств A и B (A´B) тоже выделяются «особые» пары в связи с тем, что между их компонентами есть некоторые «родственные» отношения, которых нет у других. В качестве примера рассмотрим множество S студентов какого-нибудь университета и множество K читаемых там курсов. В прямом произведении S´K можно выделить большое подмножество упорядоченных пар (s, k), обладающих свойством: студент s слушает курс k. Построенное подмножество отражает отношение «… слушает …», естественно возникающее между множествами студентов и курсов.

Для строгого математического описания любых связей между элементами двух множеств введем понятие бинарного отношения.

Определение 3.1. Бинарным (или двухместным) отношением r между множествами A и B называется произвольное подмножество A´B, т. е.

.

В частности, если A=B (то есть rÍA2), то говорят, что r есть отношение на множестве A.

Элементы a и b называются компонентами (или координатами) отношения r.

Замечание. Договоримся, что для обозначения отношений между элементами множеств использовать греческий алфавит: r, t, j, s, w и т. д.

Определение 3.2. Областью определения бинарного отношения r называется множество Dr=<a | $ b, что arb> (левая часть). Областью значений бинарного отношения r называется множество Rr=<b | $ a, что arb> (правая часть).

Пример 3.1. Пусть даны два множества A= <1; 3; 5; 7>и B=<2; 4; 6>. Отношение зададим следующим образом t=<(x; yA´B | x+y=9>. Это отношение будет состоять из следующих пар (3; 6), (5; 4) и (7; 2), которые можно записать в виде t=<(3; 6), (5; 4), (7;2)>. В данном примере Dt= <3; 5; 7>и Rt= B=<2; 4; 6>.

Читайте также:  Стандарт обжима витой пары

Пример 3.2. Отношение равенства на множестве действительных чисел есть множество r=<(x; y) | x и y – действительные числа и x равно y>. Для этого отношения существует специальное обозначение «=». Область определения совпадает с областью значений и является множеством действительных чисел, Dr= Rr.

Пример 3.3. Пусть A – множество товаров в магазине, а B – множество действительных чисел. Тогда j=<(x; yA´B | y – цена x> – отношение множеств A и B.

Если обратить внимание на пример 3.1., то можно заметить, что данное отношение было задано сначала в виде t=<(x; yA´B | x+y=9>, а потом записано в виде t=<(3; 6), (5;4), (7;2)>. Это говорит о том, что отношения на множествах (или одном множестве) можно задавать различными способами. Рассмотрим способы задания бинарных отношений.

Способы задания отношений:

1) с помощью подходящего предиката;

2) множество упорядоченных пар;

3) в графической форме: пусть A и B – два конечных множества и r – бинарное отношение между ними. Элементы этих множеств изображаем точками на плоскости. Для каждой упорядоченной пары отношения r рисуют стрелку, соединяющую точки, представляющие компоненты пары. Такой объект называется ориентированным графом или орграфом, точки же, изображающие элементы множеств, принято называть вершинами графа.

4) в виде матрицы: пусть A=<a1, a2, …, an> и B=<b1, b2, …, bm>, r – отношение на A´B. Матричным представлением r называется матрица M=[mij] размера n´m, определенная соотношениями

.

Кстати, матричное представление является представлением отношения в компьютере.

Пример 3.4. Пусть даны два множества A=<1; 3; 5; 7>и B=<2; 4; 6>. Отношение задано следующим образом t=<(x; y) | x+y=9>. Задать данное отношение как множество упорядоченных пар, орграфом, в виде матрицы.

Решение. 1) t= <(3; 6), (5; 4), (7; 2)>- есть задание отношения как множества упорядоченных пар;

2) соответствующий ориентированный граф показан на рисунке.

3) в матричном представлении это отношение имеет вид

. ,

Пример 3.5. Еще в качестве примера можно рассмотреть предложенную Дж. фон Нейманом (1903 – 1957) блок-схему ЭВМ последовательного действия, которая состоит из множества устройств M:

,

где a – устройство ввода, b – арифметическое устройство (процессор), c – устройство управления, d – запоминающее устройство, e – устройство вывода.

Рассмотрим информационный обмен между устройствами mi и mj, которые находятся в отношении r, если из устройства mi поступает информация в устройство mj.

Это бинарное отношение можно задать перечислением всех его 14 упорядоченных пар элементов:

Соответствующий орграф, задающий это бинарное отношение, представлен на рисунке:

Матричное представление этого бинарного отношения имеет вид:

. ,

Для бинарных отношений обычным образом определены теоретико-множественные операции: объединение, пересечение и т. д.

Введем обобщенное понятие отношения.

Определение 3.3. n-местное (nарное) отношение r – это подмножество прямого произведения n множеств, то есть множество упорядоченных наборов (кортежей)

Многоместные отношения удобно задавать с помощью реляционных таблиц. Такое задание соответствует перечислению множества n-к отношения r. Реляционные таблицы широко используются в компьютерной практике в реляционных базах данных. Заметим, что реляционные таблицы нашли применение в повседневной практике. Всевозможные производственные, финансовые, научные и другие отчеты часто имеют форму реляционных таблиц.

Слово «реляционная» происходит от латинского слова relation, которое в переводе на русский язык означает «отношение». Поэтому в литературе для обозначения отношения используют букву R (латинскую) или r (греческую).

Далее мы будем рассматривать только двухместные (бинарные) отношения, при этом опуская слово «бинарные».

Определение 3.4. Пусть rÍA´B есть отношение на A´B. Тогда отношение r-1 называется обратным отношением к данному отношению r на A´B, которое определяется следующим образом:

Определение 3.5. Пусть r ÍA´B есть отношение на A´B, а s ÍB´C – отношение на B´C. Композицией отношений s и r называется отношение t ÍA´C,которое определяется следующим образом:

Пример 3.6. Пусть , и C=<,, !, d, à>. И пусть отношение r на A´B и отношение s на B´C заданы в виде:

Найти r-1 и s◦r, r◦s.

2) Используя определение композиции двух отношений, получаем

поскольку из (1, x)Îr и (x, ,)Îs следует (1, ,)Îs◦r;

из (1, x)Îr и (x, !)Îs следует (1, !)Îs◦r;

из (1, y)Îr и (y, d)Îs следует (1, d)Îs◦r;

из (3, x)Îr и (x, !)Îs следует (3, !)Îs◦r.

Теорема 3.1. Для любых бинарных отношений выполняются следующие свойства:

1) ;

2) ;

3) — ассоциативность композиции.

Доказательство. Свойство 1 очевидно.

Докажем свойство 2. Для доказательства второго свойства покажем, что множества, записанные в левой и правой частях равенства, состоят из одних и тех же элементов. Пусть (a; b) Î (s◦r)-1 Û (b; a) Î s◦r Û $ c такое, что (b; c) Î r и (c; a) Î s Û $ c такое, что (c; b) Î r-1 и (a; c) Î s-1 Û (a; b) Î r -1◦s -1.

Свойство 3 доказать самостоятельно.

3.2. Свойства бинарных отношений.

Рассмотрим специальные свойства бинарных отношений на множестве A.

Свойства бинарных отношений.

1. Отношение r на A´A называется рефлексивным, если (a,a) принадлежит r для всех a из A.

2. Отношение r называется антирефлексивным, если из (a,b)Îr следует a¹b.

3. Отношение r симметрично, если для a и b, принадлежащих A, из (a,b)Îr следует, что (b,a)Îr.

4. Отношение r называется антисимметричным, если для a и b из A, из принадлежности (a,b) и (b,a) отношению r следует, что a=b.

5. Отношение r транзитивно, если для a, b и c из A из того, что (a,b)Îr и (b,c)Îr, следует, что (a,c)Îr.

Решение. 1) Это отношение рефлексивно, так как для каждого aÎA, (a; a)Îr.

2) Отношение не является антирефлексивным, так как не выполняется условие этого свойства. Например, (2, 2)Îr, но отсюда не следует, что 2¹2.

3) Рассмотрим все возможные случаи, показав, что отношение r является симметричным:

4) Данное отношение не является антисимметричным, поскольку (1, 2)Îr и (2,1)Îr, но отсюда не следует, что 1=2.

5) Можно показать, что отношение r транзитивно, используя метод прямого перебора.

Как по матрице представления

определить свойства бинарного отношения

1. Рефлексивность: на главной диагонали стоят все единицы, звездочками обозначены нули или единицы.

.

2. Антирефлексивность: на главной диагонали все нули.

3. Симметричность: если .

4. Антисимметричность: все элементы вне главной диагонали равны нулю; на главной диагонали тоже могут быть нули.

.

Операция «*» выполняется по следующему правилу: , где , .

Читайте также:  Матрица от монитора к планшету

5. Транзитивность: если . Операция «◦» выполняется по обычному правилу умножения, при этом надо учитывать: .

3.3 Отношение эквивалентности. Отношение частичного порядка.

Отношение эквивалентности является формализацией такой ситуации, когда говорят о сходстве (одинаковости) двух элементов множества.

Определение 3.6. Отношение r на A есть отношение эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Отношение эквивалентности arb часто обозначается: a

Пример 3.8. Отношение равенства на множестве целых чисел есть отношение эквивалентности.

Пример 3.9. Отношение «одного роста» есть отношение эквивалентности на множестве людей X.

Пример 3.1. Пусть ¢ — множество целых чисел. Назовем два числа x и y из ¢ сравнимыми по модулю m (mÎ¥) и запишем , если равны остатки этих чисел от деления их на m, т. е. разность (xy) делится на m.

Отношение «сравнимых по модулю m целых чисел» есть отношение эквивалентности на множестве целых числе ¢. В самом деле:

это отношение рефлексивно, т. к. для "x΢ имеем xx=0, и, следовательно, оно делится на m;

это отношение симметрично, т. к. если (xy) делится на m, то и (yx) тоже делится на m;

это отношение транзитивно, т. к. если (xy) делится на m, то для некоторого целого t1 имеем , а если (yz) делится на m, то для некоторого целого t2 имеем , отсюда , т. е. (xz) делится на m.

Определение 3.7. Отношение r на A есть отношение частичного порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно и обозначается символом °.

Частичный порядок важен в тех ситуациях, когда мы хотим как-то охарактеризовать старшинство. Иными словами, решить при каких условиях считать, что один элемент множества превосходит другой.

Пример 3.11. Отношение x£y на множестве действительных чисел есть отношение частичного порядка. ,

Пример 3.12. Во множестве подмножеств некоторого универсального множества U отношение AÍB есть отношение частичного порядка.

Пример 3.13. Схема организации подчинения в учреждении есть отношение частичного порядка на множестве должностей.

Прообразом отношения частичного порядка является интуитивное понятие отношения предпочтения (предшествования). Отношение предпочтения выделяет класс задач, которые можно объединить, как задача о проблеме выбора наилучшего объекта.

Формулировка задачи: пусть имеется совокупность объектов A и требуется сравнить их по предпочтительности, т. е. задать отношение предпочтения на множестве A и определить наилучшие объекты.

Отношение предпочтения P, которое можно определить как «aPb, a, bÎA Û объект a не менее предпочтителен, чем объект b» является по смыслу рефлексивным и антисимметричным (каждый объект не хуже самого себя, и, если объект a не хуже b и b не хуже a, то они одинаковы по предпочтительности). Естественно считать, что отношение P транзитивно (хотя в случае, когда, например, предпочтения обсуждаются группой лиц с противоположными интересами, это свойство может быть нарушено), т. е. P – отношение частичного порядка.

Один из возможных способов решения задачи сравнения объектов по предпочтительности – ранжирование, т. е. упорядочение объектов в соответствии с убыванием их предпочтительности или равноценности. В результате ранжирования мы выделяем «наилучшие» или «наихудшие» с точки зрения отношения предпочтения объекты.

Области применения задачи о проблеме выбора наилучшего объекта: теория принятия решений, прикладная математика, техника, экономика, социология, психология.

Понятие отношения наряду с понятием множества «пронизывает» всю математику. Интуитивно отношение понимается как связь объектов. Наша задача заключается в том, чтобы, используя сформулированные выше конструкции теории множеств, определить на математическом языке, что же понимается в математике под термином «отношение».

Бинарные отношения на множестве

Пусть дано множество А. Связь элементов хну множества А моделируется парой (ду>). Если элемент х связан с у, значит, мы имеем пару (л:,у) в качестве элемента некоторого множества; если д; не связан с у, значит, пара (л:^) не является объектом множества. Итак, имеем следующее определение.

Бинарным отношением на множестве А называется произвольное множество пар элементов из А.

Другими словами, бинарное отношение на множестве А — ото подмножество прямого произведения АхА=А 2 . В частности, само множество А 2 всех пар является бинарным отношением.

По аналогии с бинарным (или двуместным) отношением можно рассматривать п-местное отношение на множестве как подмножество прямого произведения А". Мы в основном будем рассматривать бинарные отношения, но для краткости речи говорить просто: «отношение на множестве А».

Обозначим произвольное бинарное отношение греческой буквой р.

Если (л’,у )е р, то говорят, что л" находится в отношении р с у, и пишут

Если (ду)?Р> то имеем отрицание соответствующего утверждения. В этом случае наряду с записью

|(хру) (или хру) пишут д-ру, перечеркивая знак отношения.

Пример 8.1.1. Рассмотрим множество А = <1,2,3,4,5>. Множество пар

определяет на А отношение «меньше», обозначаемое знаком

11а этом же множестве можно рассмотреть другое множество пар

оно определяет отношение равенства. •

Пример 8.1.2. Рассмотрим множество основных числовых множеств и множество пар

Имеем отношение, определенное нами в пункте 2.2 как отношение строгого включения множеств. Заметим, что, например, пара (Q. I) нс лежит в указанном множестве, так как Qczl, более того, эти множества не пересекаются. •

Пример 8.1.3. Дано множество слов Л=<ток, кот, шок, кол, лак>. Рассмотрим такое отношение:

(кол, лак), (лак, кол), (кот, кол), (кол, кот)>.

Это отношение можно выразить таким образом: слова множества А находятся в отношении р тогда и только тогда, когда они имеют ровно две одинаковые буквы. •

Заметим, что любое множество пар является отношением, неважно, имеется ли для этого отношения хорошее словесное описание.

Так как отношение является множеством, то его можно задать характеристическим свойством, то сеть предикатом Р(ху): р = <(.*,>>) еЛ 2 Р(ху)>. Также используется запись:

Читают: «г находится в отношении с у тогда и только тогда, когда истинно Р(ху)».

Пример 8.1.4. Определим на множестве/! = <1,2,3,4,5>отношение:

Здесь Р(ху) = (л+2=у). Зададим это отношение перечислением пар:

Пример 8.1.5. Зададим на множестве Z (или на множестве N) отношение с помощью предложения: «Существует целое число /?, такое, что х=п у». Символически можно записать:

Имеем уже определенное ранее отношение делимости, обозначаемое знаком :. Этому отношению принадлежат такие пары, как (6,2), (6,3), (4,4), (111, -37) и другие. В отличие от предыдущих примеров это множество пар бесконечно, и перечислить все пары не удастся. •

Читайте также:  Фильмы в качестве 60 фпс

Рассмотрим важнейшие свойства, которыми могут обладать бинарные отношения на множестве.

Отношение р на множестве А называется рефлексивным, если любой элемент х из А находится в отношении р сам с собой, то есть для всех д; из А выполняется лрт:

Пример 8.1.6. Рассмотрим отношение делимости на множестве Z. Возьмем произвольное целое число х. Так как х=х 9 то х‘:х. Значит, любое целое число делится на само себя: V.veZ (л:л). Поэтому отношение делимости рефлексивно.

Так как любое множество является подмножеством самого себя, то отношение включения множеств рефлексивно (на любой совокупности множеств). •

Отношение р на множестве А называется аитирефлексивным, если ни один элемент множества А не находится в отношении р с самим собой:

Пример 8.1.7. Отношение «меньше» на множестве R антирефлексивно, так как никакое число не меньше самого себя. •

Построим отрицание к предложению «Отношение р рефлексивно»:

Таким образом, отношение р не является рефлексивным тогда и только тогда, когда существует элемент хеА, который не находится в отношении р сам с собой. Отношение, не являющееся рефлексивным, не обязано быть аитирефлексивным.

Пример 8.1.8. Рассмотрим отношение на множестве R, заданное предложением «Число х противоположно числу у». Число х называется противоположным числу у, если сумма х+у равна 0.

Это отношение не рефлексивно. Контрпример: х=1. Так как 1 + 1*0, то число 1 не противоположно 1.

Это отношение нс антирефлексивно. Контрпример: ,v=0. Так как 0+0=0, то число 0 противоположно 0. •

Отношение р на множестве А называется симметричным, если из того, что х находится в отношении р с у, следует, что у находится в отношении р с

Пример 8.1.9. Из тождества х+у=у+.х вытекает утверждение: для любых действительных чисел х и у если х противоположно v, то у противоположно х. Значит, данное отношение симметрично. Часто говорят просто: «Числа х и у противоположны».

Отношение «Число х меньше числа у» на множестве R не является симметричным: 3 меньше 4, но 4 не меньше 3. •

Отношение р на множестве А называется антисимметричным, если ни для каких различных элементов х и у из А, таких, что хру, не выполняется

урх:

Пример 8.1.10. Отношение «меньше» на множестве R антисимметрично. •

Определение антисимметричного отношения можно сформулировать другими способами. Введем обозначения:

Используя таблицу истинности, можно доказать, что формула 1Р л М —равносильна формуле М л К —> Р, которая, в свою очередь, по правилу контрапозиции равносильна 1Р —>

|(Л/ л К). На основании этого можно сказать, что отношение р является антисимметричным тогда и только тогда, когда выполняется одно из равносильных условий:

А) Из того, что хру и урх, следует х=у:

Б) Никакие различные элементы не могут одновременно находиться в отношении р друг с другом.

Пример 8.1.11. Рассмотрим отношение включения на произвольном семействе множеств. Так как ЛсУл Y^X=>X=Y, то включение е есть антисимметричное отношение. •

Пример 8.1.12. Отношение делимости на множестве Z не является ни симметричным, ни антисимметричным. Так как 4:2, но 2?4, то отношение не симметрично. Так как 2:(-2) и (-2):2, но (-2)^2, то отношение не является антисимметричным.

Однако на множестве N натуральных чисел имеем антисимметричное отношение: Vjt^eN (х:у лу:х ->х=у). Проверьте это утверждение, пользуясь определением делимости. •

Отношение р на множестве А называется транзитивным, если из того, что х находится в отношении р с у, а у находится в отношении р с z, следует, что .V находится в отношении р с z:

Пример 8.1.13. Отношение делимости транзитивно (и на множестве Z и на множестве N): х:у л у : z => x:z. Покажем это. Пусть х:у и y:z. Тогда х=пу и y=kz для некоторых целых чисел п и к. Тогда х = n(kz) = (nk)z = mz, где т есть целое число. Поэтому xz.

Отношение включения множеств также транзитивно: XcY л YcZ => XezZ. Докажите.

Отношение «Числа х и у противоположны» не является транзитивным. Контрпример: х=2,у=-2, 2=2. Тогда числа 2 и (-2) противоположны, а также (-2) и 2 противоположны. Но числа х=2 и z=2 нс являются противоположными. •

Пример 8.1.14. Рассмотрим некоторые примеры отношений из предыдущего пункта.

Отношение из примера 8.1.3 антирефлексивно и симметрично. Отношение из примера 8.1.4 антирефлексивно и антисимметрично. Ни одно из этих отношений нс транзитивно. Докажите это, рассмотрев соответствующие контрпримеры. •

Некоторым отношениям, обладающим одновременно рядом свойств, даны общие называния. Из рассмотренных выше примеров одновременно свойствами рефлексивности, антисиммегричности и транзитивности обладают отношение включения множеств с и отношение делимости на множестве N. Также этими тремя свойствами обладает отношение «х меньше либо равно у», определенное на множестве R (или на любом его подмножестве):

Рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение называется отношением порядка.

Множество А, на котором задано отношение порядка р, называется упорядоченным множеством. Пишут (А, р).

В настоящее время теория упорядоченных множеств — это большой раздел математики, которому посвящены целые книги. Мы отметим лишь ряд особенностей понятия «упорядоченное множество».

Интуитивно слова «упорядоченное множество» часто понимаются в более узком смысле. Рассмотрим упорядоченную л-ку, составленную из попарно различных элементов. Например, пятерка букв (III,К,О,Л,А) определяет слово ШКОЛА. В этом случае слова «элементы записаны в определенном порядке» понимаются в том смысле, что мы занумеровали их натуральными числами 1, 2, 3, 4, 5 и расположили в порядке возрастания номеров. Обобщим этот пример.

Пусть дано «-элементное множество А. Занумеровав каким-то образом ею элементы а, а2>а„, мы действительно получим упорядоченное множество, определив отношение порядка следующим образом:

Соотношение понимается так: то, что элемент х связан с другим элементом у, означает, что х записан в кортеже левее у.

Пример 8.1.15. Дано множество /4=<а,б.в,г>. Упорядоченная четверка его различных элементов (б,в,а,г) задаст такое отношение порядка:

Заметим, что порядок не обязан обладать так называемым свойством линейности.

Пример 8.1.16. Рассмотрим на множестве А = <2,4,6,8>отношение делимости :. Задайте это отношение множеством пар. Так как в А лежат только натуральные числа, то : отношение порядка. Имеем упорядоченное множество

Ссылка на основную публикацию
Что мне задали завтра на русский
Проверка орфографии на 5-ege.ru (введите текст в форму ниже): Если нужно проверить пунктуацию, воспользуйтесь сервисом Проверка пунктуации онлайн. Наш сервис...
Чистка матрицы зеркального фотоаппарата
Нам доверяют сотрудники: Вопросы и предложения: info@fixit24.ru Адрес: г. Москва, м. Тверская, ул. Тверская, д. 20, 2 этаж, офис 204....
Чистка кэша на ноутбуке
Все, что находит отображение в браузере (музыка, картинки, видео) перед воспроизведением сохраняются на ваш ПК как временные файлы.Если их количество...
Что лучше газель некст или фиат дукато
На прошлой неделе Газель-Некст была признана лучшим автомобилем года в России. Эксперты коммерческого транспорта оценили ее в 2–3 раза выше,...
Adblock detector