Чему равен натуральный логарифм бесконечности

Чему равен натуральный логарифм бесконечности

Определение

Натуральный логарифм широко используется в математике, поскольку его производная имеет наиболее простой вид: (ln x )′ = 1/ x .

Исходя из определения, основанием натурального логарифма является число е:
е ≅ 2,718281828459045. ;
.

График натурального логарифма ln x

График натурального логарифма (функции y = ln x ) получается из графика экспоненты зеркальным отражением относительно прямой y = x .

Натуральный логарифм определен при положительных значениях переменной x . Он монотонно возрастает на своей области определения.

При x → 0 пределом натурального логарифма является минус бесконечность ( – ∞ ).

При x → + ∞ пределом натурального логарифма является плюс бесконечность ( + ∞ ). При больших x логарифм возрастает довольно медленно. Любая степенная функция x a с положительным показателем степени a растет быстрее логарифма.

Свойства натурального логарифма

Область определения, множество значений, экстремумы, возрастание, убывание

Натуральный логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства натурального логарифма представлены в таблице.

Область определения
Область значений – ∞
Монотонность монотонно возрастает
Нули, y = 0 x = 1
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 нет
+ ∞
– ∞

Значения ln x

Основные формулы натуральных логарифмов

Формулы, вытекающие из определения обратной функции:

Основное свойство логарифмов и его следствия

Формула замены основания

Любой логарифм можно выразить через натуральные логарифмы с помощью формулы замены основания:

Доказательства этих формул представлены в разделе "Логарифм".

Обратная функция

Обратной для натурального логарифма является экспонента.

Если 0)" style="width:132px;height:20px;vertical-align:-11px;background-position: -296px -320px;"> , то

Производная ln x

Производная натурального логарифма:
.
Производная натурального логарифма от модуля x :
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Интеграл

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексной переменной z :
.
Выразим комплексную переменную z через модуль r и аргумент φ:
.
Используя свойства логарифма, имеем:
.
Или
.
Аргумент φ определен не однозначно. Если положить
, где n – целое,
то будет одним и тем же числом при различных n .

Читайте также:  Роутер wifi с большим радиусом действия

Поэтому натуральный логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.

Разложение в степенной ряд

При имеет место разложение:

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 05-04-2014 Изменено: 20-03-2017

Девушка Весна Мудрец (17760), закрыт 10 лет назад infinity) x(ln(2+x) — ln(x-1))

здесь получается неопределенность #221E — #221E (infinity — infinity)
поэтому используем формулу
(1/g(x) -1/f(x)) / 1/f(x)*g(x)
которая сводит все к неопределенности ноль на ноль, ну а там уже и до правила Лопиталя рукой подать :-))
" />

СПАСИБО ВСЕМ ЗА ОТВЕТ! :-))
НАШЛА ОТВЕТ В ИНЕТЕ.. .
ХОЧУ УТОЧНИТЬ, ЧТО ВОПРОС ОТНОСИЛСЯ К РЕШЕНИЮ ТАКОЙ ЗАДАЧИ:

lim(x->infinity) x(ln(2+x) — ln(x-1))

здесь получается неопределенность #221E — #221E (infinity — infinity)
поэтому используем формулу
(1/g(x) -1/f(x)) / 1/f(x)*g(x)
которая сводит все к неопределенности ноль на ноль, ну а там уже и до правила Лопиталя рукой подать :-))

Функция натурального логарифма строго возрастает, поэтому она всегда растет, хотя и медленно. Производная # У ‘= 1 / х # так что это никогда не 0 и всегда положительно.

Вы также можете посмотреть на это как:

# n = ln oo #
# Е ^ п = оо #
Следовательно, # П # должен быть большим.

Ссылка на основную публикацию
Хороший ламповый усилитель для дома
Почти у каждого ненормального с гитарой (а иногда даже и без нее) появляется навязчивая идея принести домой фанерный ящик с...
Файлы mdi чем открыть
Если вы не смогли открыть файл двойным нажатием на него, то вам следует скачать и установить одну из программ представленных...
Файлы mdx чем открыть
MDX - это формат образов дисков, который был создан разработчиками программы DAEMON Tools. Это формат был создан в результате усовершенствования...
Хороший переводчик английского языка
Оцените наш проект! Правильный переводчик онлайн позволяет довольно качественно и оперативно выполнять следующие операции: - изучать один либо одновременно несколько...
Adblock detector