Частота колебаний зависит от амплитуды

Частота колебаний зависит от амплитуды

Рассмотрим зависимость амплитуды Авынужденных колебаний от частоты w. Механические и электромагнитные колебания будем рассматривать одновременно, называя колеблющуюся величину либо смещением (х)колеблющегося тела из положения равновесия, либо зарядом (Q) конденсатора.

Из формулы (147.8) следует, что амплитуда А смещения (заряда) имеет максимум. Чтобы определить резонансную частоту wрез — частоту, при которой амплитуда А смещения (заряда) достигает максимума, — нужно найти максимум функции (147.8), или, что то же самое, минимум подкоренного выражения. Продифференцировав подкоренное выражение по w и приравняв его нулю, получим условие, определяющее wрез

Это равенство выполняется при w = 0, , у которых только лишь положи тельное значение имеет физический смысл. Следовательно, резонансная частота

(148.1)

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного напряжения) к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы, называется резонансом (соответственно механическим или электрическим). При d 2 ≪ w 2 значение wрез, практически совпадает с собственной частотой w колебательной системы. Подставляя (148.1) в формулу (147.8), получим

(148.2)

На рис. 210 приведены зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты при различных значениях d. Из (148.1) и (148.2) вытекает, что чем меньше d, тем выше и правее лежит максимум данной кривой. Если w®0, то все кривые (см. также (147.8)) достигают одного и того же, отличного от нуля, предельного значения x/w 2 , которое называют статическим отклонением. В случае механических колебаний x/w 2 = F/(mw 2 ) в случае электромагнитных — Um/(Lw 2 ).Если w®¥, то все кривые асимптотически стремятся к нулю. Приведенная совокупность кривых называется резонансными кривыми.

Из формулы (148.2) вытекает, что при малом затухании (d 2 ≪ w 2 ) резонансная амплитуда смещения (заряда)

где Q — добротность колебательной системы (см. (146.8)), x/w 2 — рассмотренное выше статическое отклонение. Отсюда следует, что добротность Qхарактеризует резонансные свойства колебательной системы: чем больше Q, тем больше Арез.

На рис. 211 представлены резонансные кривые для амплитуды скорости (тока).

Амплитуда скорости (тока)

максимальна при w 2 = w и равна x/(2d), т. е. чем больше коэффициент затухания d, ниже максимум резонансной кривой. Используя формулы (142.2), (146.10) и (143.4), (146.11), получим, что амплитуда скорости при механическом резонансе равна

а амплитуда тока при электрическом резонансе

Из выражения tgj = 2dw/( w 2 — w 2 ) (см. (147.9)) следует, что если затухание в системе отсутствует (d = 0), то только в этом случае колебания и вынуждающая сила (приложенное переменное напряжение) имеют одинаковые фазы; во всех других случаях j ¹ 0.

Зависимость jот wпри разных коэффициентах dграфически представлена на рис. 212, из которого следует, что при изменении w изменяется и сдвиг фаз j. Из формулы (147.9) вытекает, что при w = 0 j = 0, а при w = w независимо от значения коэффициента затухания j= p/2, т. е. сила (напряжение) опережает по фазе колебания на p/2. При дальнейшем увеличении w сдвиг фаз возрастает и при w ≫ w j ® p, т.е. фаза колебаний почти противоположна фазе внешней силы (переменного напряжения). Семейство кривых, изображенных на рис. 212, называется фазовыми резонансными кривыми.

Явления резонанса могут быть как вредными, так и полезными. Например, при конструировании машин и различного рода сооружений необходимо, чтобы собственная частота колебаний их не совпадала с частотой возможных внешних воздействий, в противном случае возникнут вибрации, которые могут вызвать серьезные разрушения. С другой стороны, наличие резонанса позволяет обнаружить даже очень слабые колебания, если их частота совпадает с частотой собственных колебаний прибора. Так, радиотехника, прикладная акустика, электротехника используют явление резонанса.

Читайте также:  Что делать если открывается boot menu

Дата добавления: 2015-02-13 ; просмотров: 1263 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Амплитуда колебаний (лат. amplitude — величина) — это наибольшее отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.

Для маятника это максимальное расстояние, на которое удаляется ша­рик от своего положения равновесия (рисунок ниже). Для колебаний с малыми амплитудами за такое расстояние можно принимать как длину дуги 01 или 02, так и длины этих отрезков.

Амплитуда колебаний измеряется в единицах длины — метрах, санти­метрах и т. д. На графике колебаний амплитуда определяется как макси­мальная (по модулю) ордината синусоидальной кривой, (см. рис. ниже).

Период колебаний.

Период колебаний — это наименьший промежуток времени, через который система, соверша­ющая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент времени, выбранный произвольно.

Другими словами, период колебаний (Т) — это время, за которое совершается одно полное ко­лебание. Например, на рисунке ниже это время, за которое грузик маятника перемещается из крайней правой точки через точку равновесия О в крайнюю левую точку и обратно через точку О снова в крайнюю правую.

За полный период колебаний, таким образом, тело проходит путь, равный четы­рем амплитудам. Период колебаний измеряется в единицах времени — секундах, минутах и т. д. Период колебаний может быть определен по известному графику колебаний, (см. рис. ниже).

Понятие «период колебаний», строго говоря, справедливо, лишь когда значения колеблющей­ся величины точно повторяются через определенный промежуток времени, т. е. для гармоничес­ких колебаний. Однако это понятие применяется также и для случаев приблизительно повторяю­щихся величин, например, для затухающих колебаний.

Частота колебаний.

Частота колебаний — это число колебаний, совершаемых за единицу времени, например, за 1 с.

Единица частоты в СИ названа герцем (Гц) в честь немецкого физика Г. Герца (1857-1894). Если частота колебаний (v) равна 1 Гц, то это значит, что за каждую секунду совершается одно колебание. Частота и период колебаний связаны соотношениями:

.

В теории колебаний пользуются также понятием циклической, или круговой частоты ω. Она связана с обычной частотой v и периодом колебаний Т соотношениями:

.

Циклическая частота — это число колебаний, совершаемых за секунд.

Частотные характеристики отражают зависимости амплитуды и фазы от частоты синусоидальных колебаний при прохождении этих колебаний через звено или систему.

В отличие от рассмотренного воздействия в виде единичной функции, для построения частотных характеристик на вход звена подают периодически изменяющиеся входные воздействия.

Изменение амплитуды и фазы синусоидального колебания при прохождении его через элементы системы регулирования зависит только от частоты ω этих колебаний.

Хотя частотные характеристики дают зависимости амплитуд и фаз от частоты ω в установившемся режиме работы системы, тем не менее их называют динамическими, так как они позволяют определять устойчивость системы в динамическом, то есть переходном ре­жиме.

Читайте также:  Сравнение пентиум 4 и коре i 5

Пусть на входе звена действует сигнала х = a sin ωt. Тогда на его выходе устанавливаются синусоидальные колебания с другой амплитудой и сдвинутые по фале на угол φ: y = b sin (ωt – φ).

a – условное обозначение звена;

б – ампли­тудно-частотная; в – фазо-частотная

Рисунок – Частотные характеристики звена

Различают амплитудно-частотные и фазо-частотные характери­стики.

Амплитудно-частотная характеристика (рис. б) – это зависимость амплитуды колебаний на выходе от частоты колебаний на входе элемента или всей АСУ:

.

Фазо-частотной характеристикой (рис. в) называют зависимость разности фаз между входными и выходными колеба­ниями от частоты колебаний:

.

В теории автоматического регулирования используется совмещенная амплитудно-фазо-частотная характеристика (АФЧХ), которая выражает соотношение между амплитудами выходною и входного колебаний и сдвигом фаз в зависимости от частоты. Другими словами, это есть отношение вектора колебания выходной величины к вектору колебания входной. Так, если х = jωt – вектор колебаний входной величины, а у = jωt –φ – век­тор колебаний выходной, то амплитудно-фазовая характеристика звена

Таким образом, амплитудно-фазо-частотная характеристика яв­ляется векторной величиной. на плоскости комплексного перемен­ного она изображается кривой, которая называется годографом век­тора W (jω) при наименьшем ω от –∞ до +∞.

Если входное воздействие изменяется по закону

Например, уравнение (1) из операторной формы можно привести к виду

Отсюда получим АФЧХ:

(2)

В общем случае амплитудно-фазо-частотная характеристика со­стоит из вещественной R (ω) и мнимой j I (ω) частей частотной харак­теристики:

– модуль функции W (jω);

– фаза или аргумент функции W (jω).

Величина W (ω) определяет изменение амплитуды, а φ (ω) – изменение фазы колебаний на выходе звена по отношению к колеба­ниям на входе, происходящим с частотой ω.

Для выражения (2)

Из последних выражений следует, что вектор амшштудно-фазо-частотной характеристики W (jω) = k при ω = 0 и W (jω) = 0 при ω = ∞. В процессе изменения угловой частоты в пределах 0 ≤ ω ≤ +∞ вектор W (jω) поворачивается по часовой стрелке и описывает годограф, который охватывает пт = 2 – 0 = 1 квадрант (здесь п и т соответственно показатели полино­мов при у и х исходного уравнения).

Рисунок – Амплитудно-фазо-частотная характеристика.

При изменении угловой частоты в пределах 0 ≤ ω ≤ –∞ годо­граф (пунктирная кривая) зеркально отображает относительно оси абсцисс годограф, построенный для 0 ≤ ω ≤ +∞

Для облегчения расчетов и лучшей на­глядности был предложен метод логарифмических частотных характеристик, который в ряде случаев позволяет трудоемкие расчеты заменить гра­фическими построениями при помощи номограмм и специальных шаблонов.

Логарифмическая амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики отличаются от характеристик, приведенных на рисунке только логарифмическим масштабом. По оси абсцисс вместо величины ω откладывают величину lg ω в логарифмических единицах (декадах [в 10 раз] или октавах [в 2 раза]), а по оси ординат при построении амнлитудно-частотных характеристик вместо величины откладывают величину 20 lg , единица измерения которой называется децибелом (дБ). Это позволяет в наглядной форме строить и сравнивать частотные харак­теристики в широких пределах изменения угловой частоты ω.

Амплитудно-фазная характеристика – это зависимость одновременно амплитуды и фазы от частоты колебаний входной величины.

Частотные характеристики имеют большое значение для анализа динамических качеств АСУ.

Читайте также:  Как изменить обои на компьютере

Если на вход системы подать гармоническое воздействие (возмущение) непрерывно изменяющееся по синусоидальному (sin) закону,

где А – амплитудные колебания входной воздействия,

ω – угловая частота колебаний [1/с],

ω = 2 π f = 2 π (1/T); T = 2 π / ω

то если звено или система линейная на выходе также устанавливаются синусоидальное (sin) колебание, выходного параметра “у“ с той же частотой ω, но с другой амплитудой “а1“.

На выходе звена устанавливается колебания с частотой ω2, но с меньшей амплитудой а2 φ1

Анализ показывает: Чем больше частота входных колебаний, тем меньше амплитуда выходных колебаний и тем больше отставание по фазе выходных колебаний по отношению к входным колебаниям.

При некоторой критической величине колебаний ω = ωкритич

амплитуда выходных колебаний акритич = 0, то есть колебания на выходе звена не будут, звено или система полностью отфильтровывает поступающие ему на вход высоко частотные колебания.

Величина отношения амплитуды выходной величины к входной и сдвиг по фазе φ при различных частотах зависит от динамических свойств звена.

Зависимость отношения амплитуды а/А выходных колебаний к входным, от частоты ω, при изменении ω от 0 до ωкритич – называется амплитудно-частотной характеристикой.

Зависимость сдвига фазы φ от частоты ω входных колебаний, называется фазо-частотной характеристикой.

Кроме амплитуды и фазо-частотной характеристикой свойства звена оценивают амплитудно-фазной характеристикой, выражающей одновременное изменение амплитуды и фазы выходных колебаний, от частоты входных колебаний ωвх.

Для получения графических изображений амплитудно-фазных характеристик звена строят на комплексной плоскости векторы длиной а для каждой частоты входных колебаний, выходящих из начала координат под углом сдвига фаз равным φ по часовой стрелке, если угол отрицательный и соединяют концы векторов плавной кривой, которая называется годографом.

Для аналитического определения амплитудно-фазных характеристик звена закон синусоидальных колебаний, его входных и выходных параметров выражают в векторной форме с помощью комплексных чисел на комплексной плоскости.

где m – действительная часть комплексного числа;

n – мнимая часть (отрицательная часть

cosφ – вещественная часть;

sinφ – мнимая часть;

e — j φ – показательная часть (единичный вектор)

e — j φ = cosφ + j∙sinφ

входная величина х = А∙ sinωt = A e – j φ

выходная величина у = а∙ sin(ωt–φ) = а e – j (ω t – φ ) = аe – j ω t ∙e j φ

Зависимость между выходной и входной величиной звена для каждой частоты ω можно охарактеризовать отношением векторов у и х, которое представляет собой вектор W(jω) – это и есть аналитическое выражение амплитудно-фазной характеристикой в векторной форме.

На комплексной плоскости амплитудно-фазная характеристика изображается кривой, которая называется годографом вектора W(jω), при изменении частоты колебаний ω от – ∞ до + ∞.

Обычно строят положительную ветвь, когда частота колебаний ω изменяется от 0 до ∞, а отрицательную ветвь, когда частота колебаний ω изменяется от – ∞ до 0 является зеркальным отражением положительной ветви относительно действительной оси.

Лекция 12

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: На стипендию можно купить что-нибудь, но не больше. 9417 — | 7462 — или читать все.

Ссылка на основную публикацию
Хороший ламповый усилитель для дома
Почти у каждого ненормального с гитарой (а иногда даже и без нее) появляется навязчивая идея принести домой фанерный ящик с...
Файлы mdi чем открыть
Если вы не смогли открыть файл двойным нажатием на него, то вам следует скачать и установить одну из программ представленных...
Файлы mdx чем открыть
MDX - это формат образов дисков, который был создан разработчиками программы DAEMON Tools. Это формат был создан в результате усовершенствования...
Хороший переводчик английского языка
Оцените наш проект! Правильный переводчик онлайн позволяет довольно качественно и оперативно выполнять следующие операции: - изучать один либо одновременно несколько...
Adblock detector